Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων

Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων

Συγγραφέας	Αρχιμήδης
Γλώσσα	αρχαία ελληνικά
Ημερομηνία δημοσίευσης	3ος αιώνας π.Χ.
Θέμα	στερεό εκ περιστροφής Κωνική τομή
δεδομένα ()

Μια σελίδα από το έργο του Αρχιμήδη Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων.

Το Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων είναι σωζόμενο έργο του Αρχαίου Έλληνα μαθηματικού και μηχανικού Αρχιμήδη (περ. 287 π.Χ. - περ. 212 π.Χ.). Το εν λόγω έργο, αποτελείται από 32 προτάσεις και διερευνά ιδιότητες και θεωρήματα σχετικά με τα στερεά που δημιουργούνται από την περιστροφή κωνικών τομών γύρω από τους άξονές τους, συμπεριλαμβανομένων των παραβολοειδών, των υπερβολοειδών και των σφαιροειδών. Το κύριο αποτέλεσμα του έργου είναι η σύγκριση του όγκου οποιουδήποτε τμήματος που κόβεται από ένα επίπεδο με τον όγκο ενός κώνου του οποίου η βάση και ο άξονας είναι ίσοι.

Η εργασία απευθυνόταν στον Δοσίθεο από το Πελούσιο.

Επιστολή προς Δοσίθεο

« «Αρχιμήδης προς Δοσίθεο, χαιρετισμούς.

Συμπεριλαμβάνω σε αυτό το βιβλίο όχι μόνο τις αποδείξεις των υπόλοιπων θεωρημάτων που δεν περιλαμβάνονταν σε αυτά που σου έστειλα, αλλά και τις αποδείξεις άλλων θεωρημάτων που ανακάλυψα αργότερα και που μου προκαλούσαν αβεβαιότητα - διότι, αφού τα εξέτασα αρκετές φορές, έμοιαζαν να παρουσιάζουν πολλές δυσκολίες. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο τα θεωρήματα αυτά δεν συμπεριλήφθηκαν μαζί με τα άλλα- αφού όμως τα εξέτασα ξανά με μεγαλύτερη προσοχή, βρήκα τα αποτελέσματα που μου είχαν διαφύγει. Ό,τι είχε απομείνει από τα πρώτα θεωρήματα αφορούσε το παραβολικό κονοειδές- όσο για εκείνα που ανακαλύφθηκαν τελευταία, αφορούν το υπερβολικό κονοειδές και τα σφαιροειδή...».

»

Κύριες προτάσεις

1. κάθε τμήμα ενός παραβολικού κωνοειδούς που κόβεται από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα είναι ίσο με 3 φορές το μισό του κώνου που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το τμήμα αυτό.
2. αν ένα τμήμα ενός παραβολικού κωνοειδούς κόβεται από ένα επίπεδο μη κάθετο στον άξονα, το επίπεδο αυτό θα είναι παράλληλο ίσο με 3 φορές το τμήμα του κώνου που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το τμήμα,
3. αν δύο τμήματα ενός παραβολικού κωνοειδούς τέμνονται από δύο επίπεδα, εκ των οποίων το ένα είναι κάθετο στον άξονα και το άλλο όχι, και αν οι άξονες των τμημάτων είναι ίσοι, τα τμήματα αυτά θα είναι ίσα μεταξύ τους.
4. αν δύο τμήματα ενός παραβολικού κωνοειδούς τέμνονται από ένα επίπεδο με οποιονδήποτε τρόπο διεξάγεται, τα τμήματα αυτά είναι ίσα μεταξύ τους ως τα τετράγωνα των αξόνων τους,
5. ένα τμήμα ενός υπερβολικού κωνοειδούς που κόβεται από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα, είναι προς έναν κώνο που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το εν λόγω τμήμα, ως μια γραμμή που σχηματίζεται από τον άξονα του τμήματος και το τριπλό της ευθείας που προστίθεται στον άξονα, και προς μια γραμμή που αποτελείται από τον άξονα του τμήματος και το διπλό της ευθείας που προστίθεται στον άξονα.
6. αν ένα τμήμα ενός υπερβολικού κωνοειδούς τέμνεται από ένα επίπεδο μη κάθετο στον άξονα, το τμήμα του κωνοειδούς θα είναι προς το τμήμα του κώνου που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το τμήμα, όπως μια ευθεία που σχηματίζεται από τον άξονα του τμήματος και το τριπλό της ευθείας που προστίθεται στον άξονα, είναι προς μια ευθεία που σχηματίζεται από τον άξονα του τμήματος και το διπλό της ευθείας που προστίθεται στον άξονα,
7. το ήμισυ κάθε σφαιροειδούς που κόβεται από ένα επίπεδο που ξεκινά από το κέντρο και είναι κάθετο στον άξονα, είναι το διπλάσιο ενός τμήματος του κώνου που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το τμήμα.
8. αν οποιοδήποτε σφαιροειδές κόβεται από ένα επίπεδο που αρχίζει από το κέντρο και δεν είναι κάθετο στον άξονα, το μισό του σφαιροειδούς θα είναι πάντα το διπλάσιο ενός τμήματος ενός κώνου που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το τμήμα,
9. το τμήμα οποιουδήποτε σφαιροειδούς που κόβεται από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα, το οποίο δεν διέρχεται από το κέντρο, είναι προς τον κώνο που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το εν λόγω τμήμα, ως ευθεία γραμμή που αποτελείται από το μισό του άξονα του σφαιροειδούς και τον άξονα του μεγαλύτερου τμήματος.
10. αν ένα σφαιροειδές κόβεται από ένα επίπεδο που δεν διέρχεται από το κέντρο και που δεν είναι κάθετο στον άξονα, το μικρότερο τμήμα θα είναι προς το τμήμα του κώνου, που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το τμήμα, ως ευθεία που σχηματίζεται από το ήμισυ της ευθείας που ενώνει τις κορυφές των τμημάτων που παράγονται από το επίπεδο του κόπτη και ο άξονας του κ μικρότερου τμήματος είναι προς τον άξονα του μεγαλύτερου τμήματος.
11. το μεγαλύτερο τμήμα ενός σφαιροειδούς που δεν κόβεται στο κέντρο του από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονά του, βρίσκεται στον κώνο που έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με το τμήμα, όπως η γραμμή που σχηματίζεται από το μισό του άξονα του σφαιροειδούς και τον άξονα του μικρού τμήματος βρίσκεται στον άξονα του μικρού τμήματος.
12. αν ένα σφαιροειδές κόβεται από ένα επίπεδο το οποίο δεν διέρχεται από το κέντρο του και το οποίο δεν είναι κάθετο στον άξονά του, το μεγαλύτερο τμήμα του σφαιροειδούς θα βρίσκεται στο τμήμα του κώνου, το οποίο έχει την ίδια βάση και τον ίδιο άξονα με τον κώνο, ως ευθεία που σχηματίζεται από τη μισή ευθεία, η οποία ενώνει τις κορυφές των τμημάτων που έχουν παραχθεί από την τομή αυτή, και ο άξονας του μικρού τμήματος βρίσκεται στον άξονα του μικρού τμήματος.

Αυτή η πραγματεία αποκαλύπτει επίσης μια αναλογία που χρησιμοποιείται συχνά στην αστρονομία: η επιφάνεια της έλλειψης είναι προς εκείνη του περιγεγραμμένου κύκλου σε αναλογία του μικρού άξονα προς τον μεγάλο άξονα.

Δημοσιεύσεις

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon». 
• Johnson, Roger A. (2007), Advanced Euclidean Geometry, Dover 
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston 

• O'Connor, J.J.· Robertson, E.F. (Φεβρουαρίου 1996). «A history of calculus». University of St Andrews. Ανακτήθηκε στις 7 Αυγούστου 2007. 
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [1] Αρχειοθετήθηκε 2015-11-22 στο Wayback Machine..
• Akopyan, A.V.· Zaslavsky, A.A. (2007). Geometry of Conics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4323-9. 
• Artzy, Rafael (2008), Linear Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46627-9 
• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC 
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6, https://books.google.com/books?id=q49lhAzXTFEC 
• Pickover, Clifford A. 2008. Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-533611-5.

Δείτε επίσης

• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• Τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πάππος ο Αλεξανδρεύς
• Κέντρο μάζας
• Τετραγωνισμός παραβολής
• Διαβήτης (όργανο)
• Περί σφαίρας και κυλίνδρου
• Αρχή του Αρχιμήδη
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Κωνική τομή
• Παραλληλόγραμμο
• Διανυσματική προβολή

Παραπομπές

• Coolidge, J.L. (1945). A history of the conic sections and quadric surfaces. Dover Publications. ISBN 9780486619125. Ανακτήθηκε στις 16 Δεκεμβρίου 2018. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• The Works of Archimedes
• The Mathematical Career of Pierre de Fermat, Archimedes, page 222.
• the method of archimedes recently discovered by heiberg a supplement to the ..., page 6
• Revolutions of Geometry On Conoids and Spheroids Archimedes page 179"
• Illustrated Encylopedia of World History... .."Work" Archimedess. page 73...
• The History of Mathematics: A Source-Based Approach: Volume 1 ..page 137
• Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century .."On Conoids and Spheroids... page 59....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Πηγές

• Archimedes (9 Μαΐου 2013). The Works of Archimedes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15439-8. 
• Heath, T. L. (21 Νοεμβρίου 2013). A History of Greek Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-06307-4. 
• Heath, Thomas (31 Ιουλίου 2020). Pioneers of Progress , Men of Science. BoD – Books on Demand. ISBN 978-3-7523-8170-2. 
• http://planetmath.org/ArchimedesCalculus