Στέφαν Μπάναχ
Ο Στέφαν Μπάναχ (πολωνικά: Stefan Banach) (30 Μαρτίου 1892 – 31 Αυγούστου 1945) ήταν Πολωνός μαθηματικός,[21] ο οποίος γενικά θεωρείται ένας από τους σημαντικότερους και πιο σημαίνοντες μαθηματικούς του 20ου αιώνα στον κόσμο. Ήταν ο ιδρυτής της σύγχρονης συναρτησιακής ανάλυσης[22] και αρχικό μέλος της Σχολής Μαθηματικών της Λβιβ. Το κύριο έργο του ήταν το βιβλίο του 1932, Théorie des Operations Linéaires (Θεωρία Γραμμικών Πράξεων), η πρώτη μονογραφία για τη γενική θεωρία της συναρτησιακής ανάλυσης.
Ο Μπάναχ γεννήθηκε στην Κρακοβία. Παρακολούθησε το 4ο γυμνάσιο, όπου εργάστηκε σε προβλήματα μαθηματικών με τον φίλο του, Βίτολντ Βίλκος. Μετά την αποφοίτησή του το 1910, μετακόμισε στο Λβουφ (σημερινό Λβιβ). Ωστόσο, κατά τη διάρκεια του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου, επέστρεψε στην Κρακοβία, όπου έγινε φίλος με τον Χιούγκο Στάινχαους. Αφού ο Μπάναχ έλυσε μερικά μαθηματικά προβλήματα που ο Στάινχαους θεωρούσε δύσκολα, δημοσίευσαν την πρώτη τους κοινή εργασία. Το 1919, με αρκετούς άλλους μαθηματικούς, ο Μπάναχ σχημάτισε μια μαθηματική εταιρεία. Το 1920 έλαβε θέση βοηθού στο Πολυτεχνείο του Λβουφ. Σύντομα έγινε καθηγητής στο Πολυτεχνείο και μέλος της Πολωνικής Ακαδημίας Μάθησης. Οργάνωσε τη Σχολή Μαθηματικών της Λβιβ. Γύρω στο 1929 άρχισε να γράφει τα Théorie des Operations Lineaires.
Μετά το ξέσπασμα του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου, τον Σεπτέμβριο του 1939, το Λβουφ καταλήφθηκε από τη Σοβιετική Ένωση. Ο Μπάναχ έγινε κοσμήτορας του Τμήματος Μαθηματικών και Φυσικής του Πανεπιστημίου του Λβουφ. Το 1941, όταν οι Γερμανοί κατέλαβαν το Λβουφ, όλα τα ιδρύματα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης έκλεισαν στους Πολωνούς. Ως αποτέλεσμα, ο Μπάναχ αναγκάστηκε να κερδίζει τα προς το ζην ως τροφοδότης αίματος ψειρών στο Ινστιτούτο Έρευνας για τον Τύφο και τους Ιούς «Ρούντολφ Βάιγκλ». Ενώ η δουλειά εμπεριείχε τον κίνδυνο μόλυνσης από τύφο, τον προστάτευε από το να σταλεί σε καταναγκαστική εργασία στη Γερμανία και από άλλες μορφές καταστολής. Όταν οι Σοβιετικοί ανακατέλαβαν το Λβουφ το 1944, ο Μπάναχ επανίδρυσε το Πανεπιστήμιο. Ωστόσο, επειδή οι Σοβιετικοί απομάκρυναν Πολωνούς από τα πρώην πολωνικά εδάφη που είχαν προσαρτηθεί από τη Σοβιετική Ένωση, ο Μπάναχ ετοιμάστηκε να επιστρέψει στην Κρακοβία. Πριν προλάβει να το κάνει, πέθανε τον Αύγουστο του 1945, έχοντας διαγνωστεί επτά μήνες νωρίτερα με καρκίνο του πνεύμονα.
Μερικές από τις αξιοσημείωτες μαθηματικές έννοιες που φέρουν το όνομα του Μπάναχ περιλαμβάνουν τις: χώρος Μπάναχ, άλγεβρα Μπάναχ,[23] μέτρο Μπάναχ, παράδοξο Μπάναχ-Τάρσκι, θεώρημα Χαν-Μπάναχ, θεώρημα Μπάναχ-Στάινχαους, παιχνίδι Μπάναχ-Μάζουρ,[24] θεώρημα Μπάναχ-Αλάογλου και θεώρημα σταθερού σημείου Μπάναχ.
Βιογραφία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Πρώιμη ζωή
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Μετά την απόκτηση του πτυχίου λυκείου σε ηλικία 18 ετών το 1910, ο Μπάναχ μετακόμισε στο Λβουφ (σημερινό Λβιβ) με την πρόθεση να σπουδάσει στο Πολυτεχνείο του Λβουφ. Αρχικά επέλεξε τη μηχανική ως αντικείμενο σπουδών αφού εκείνη την εποχή ήταν πεπεισμένος ότι δεν υπήρχε κάτι νέο να ανακαλύψει στα μαθηματικά. Κάποια στιγμή φοίτησε και στο Γιαγκιελόνιο Πανεπιστήμιο στην Κρακοβία. Καθώς έπρεπε να κερδίσει χρήματα για να υποστηρίξει τις σπουδές του, μόλις το 1914, τελικά, σε ηλικία 22 ετών, πέρασε τις εξετάσεις αποφοίτησης του λυκείου.[25]
Όταν ξέσπασε ο Α΄ Παγκόσμιος Πόλεμος, ο Μπάναχ απαλλάχθηκε από τη στρατιωτική του θητεία λόγω της αριστεροχειρίας και της κακής όρασής του. Όταν ο Ρωσικός Στρατός άνοιξε την επίθεσή του προς το Λβουφ, ο Μπάναχ έφυγε για την Κρακοβία, όπου πέρασε το υπόλοιπο του πολέμου. Έβγαζε τα προς το ζην ως δάσκαλος στα τοπικά γυμνάσια, εργάστηκε σε βιβλιοπωλείο και ως επιστάτης συνεργείου οδοποιίας. Παρακολούθησε κάποιες διαλέξεις στο Γιαγκιελόνιο Πανεπιστήμιο εκείνη την εποχή, συμπεριλαμβανομένων εκείνων των διάσημων Πολωνών μαθηματικών Στανίσουαφ Ζαρέμπα και Καζίμιες Ζοράφσκι, αλλά λίγα είναι γνωστά για εκείνη την περίοδο της ζωής του.[26]
Ανακάλυψη από τον Στάινχαους
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Το 1916, στους Κήπους Πλάντι της Κρακοβίας, ο Μπάναχ συνάντησε τον καθηγητή Χιούγκο Στάινχαους, έναν από τους διάσημους μαθηματικούς της εποχής. Σύμφωνα με τον Στάινχαους, ενώ έκανε μια βόλτα στους κήπους, άκουσε με έκπληξη τον όρο «ολοκλήρωμα Λεμπέγκ» (η ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ ήταν εκείνη την εποχή ακόμα μια αρκετά νέα ιδέα στα μαθηματικά) και πήγε να το διερευνήσει. Ως αποτέλεσμα, γνώρισε τον Μπάναχ, καθώς και τον Ότο Νικόντιμ. Ο Στάινχαους γοητεύτηκε με τον αυτοδίδακτο νεαρό μαθηματικό. Η συνάντηση κατέληξε σε μια μακροχρόνια συνεργασία και φιλία. Στην πραγματικότητα, αμέσως μετά τη συνάντηση ο Στάινχαους κάλεσε τον Μπάναχ να λύσει κάποια προβλήματα στα οποία εργαζόταν, αλλά τα οποία είχαν αποδειχθεί δύσκολα. Ο Μπάναχ τα έλυσε μέσα σε μια εβδομάδα και οι δυο τους δημοσίευσαν σύντομα την πρώτη τους κοινή δουλειά (Σχετικά με τη μέση σύγκλιση της σειράς Φουριέ). Ο Στάινχαους, ο Μπάναχ και ο Νικόντιμ, μαζί με αρκετούς άλλους μαθηματικούς της Κρακοβίας (Βουαντίσουαφ Σλεμποντζίνσκι, Λέον Χφίστεκ, Άλφρεντ Ρόζενμπλατ και Βουοντζίμιες Στόζεκ) ίδρυσαν επίσης μια μαθηματική εταιρεία, η οποία τελικά έγινε η Πολωνική Μαθηματική Εταιρεία. Η εταιρεία ιδρύθηκε επίσημα στις 2 Απριλίου 1919. Ήταν επίσης μέσω του Στάινχαους που ο Μπάναχ γνώρισε τη μελλοντική σύζυγό του, Λούτσια Μπράους.
Μεσοπόλεμος
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ο Στάινχαους εισήγαγε τον Μπάναχ στους ακαδημαϊκούς κύκλους και επιτάχυνε σημαντικά την καριέρα του. Μετά την ανάκτηση της ανεξαρτησίας της Πολωνίας το 1918, ο Μπάναχ έλαβε θέση βοηθού στο Πολυτεχνείο του Λβουφ. Η υποστήριξη του Στάινχαους του επέτρεψε επίσης να λάβει διδακτορικό δίπλωμα χωρίς ουσιαστικά να αποφοιτήσει από πανεπιστήμιο. Η διδακτορική διατριβή, που έγινε δεκτή από το Πανεπιστήμιο του Λβουφ το 1920 και δημοσιεύτηκε το 1922, περιελάμβανε τις βασικές ιδέες της συναρτησιακής ανάλυσης, η οποία σύντομα επρόκειτο να γίνει ένας εντελώς νέος κλάδος των μαθηματικών. Η διατριβή συζητήθηκε ευρέως στους ακαδημαϊκούς κύκλους και του επέτρεψε το 1922 να γίνει καθηγητής στο Πολυτεχνείο του Λβουφ. Αρχικά, ήταν βοηθός του καθηγητή Αντόνι Γουομνίτσκι και το 1927 έλαβε τη δική του έδρα. Το 1924 έγινε επίσης δεκτός ως μέλος της Πολωνικής Ακαδημίας Μάθησης. Ταυτόχρονα, από το 1922, ο Μπάναχ ήταν επίσης επικεφαλής της δεύτερης έδρας των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Λβουφ.
Νέος και ταλαντούχος, ο Μπάναχ συγκέντρωσε γύρω του μια μεγάλη ομάδα μαθηματικών. Η ομάδα, που συναντιόνταν στο Scottish Café, γέννησε σύντομα τη «Σχολή Μαθηματικών του Λβουφ». Το 1929, η ομάδα άρχισε να δημοσιεύει το δικό της περιοδικό, το Studia Mathematica, αφιερωμένο κυρίως στο πεδίο μελέτης του Μπάναχ — τη συναρτησιακή ανάλυση. Εκείνη την εποχή, ο Μπάναχ άρχισε επίσης να εργάζεται για το πιο γνωστό έργο του, την πρώτη μονογραφία για τη γενική θεωρία του διανυσματικού-μετρικού χώρου. Εκδόθηκε για πρώτη φορά στα πολωνικά το 1931, τον επόμενο χρόνο μεταφράστηκε επίσης στα γαλλικά και κέρδισε ευρύτερη αναγνώριση στους ευρωπαϊκούς ακαδημαϊκούς κύκλους. Το βιβλίο ήταν επίσης το πρώτο από μια μεγάλη σειρά μαθηματικών μονογραφιών που επιμελήθηκαν ο Μπάναχ και ο κύκλος του. Στις 17 Ιουνίου 1924, ο Μπάναχ έγινε μέλος αλληλογραφίας της Πολωνικής Ακαδημίας Επιστημών και Καλών Τεχνών στην Κρακοβία.
Β΄ Παγκόσμιος Πόλεμος
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Μετά την εισβολή στην Πολωνία από τη Ναζιστική Γερμανία και τη Σοβιετική Ένωση, το Λβουφ τέθηκε υπό τον έλεγχο της Σοβιετικής Ένωσης για σχεδόν δύο χρόνια. Ο Μπάναχ, ο οποίος από το 1939 ήταν μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Ουκρανίας, και με καλές σχέσεις με Σοβιετικούς μαθηματικούς, έπρεπε να υποσχεθεί ότι θα μάθει ουκρανικά για να του επιτραπεί να κρατήσει την έδρα του και να συνεχίσει τις ακαδημαϊκές του δραστηριότητες. Μετά την κατάκτηση του Λβουφ από τη Γερμανία το 1941 κατά τη διάρκεια της Επιχείρησης Μπαρμπαρόσα, όλα τα πανεπιστήμια έκλεισαν και ο Μπάναχ, μαζί με πολλούς συναδέλφους και τον γιο του, εργάστηκε ως τροφοδότης αίματος ψειρών στο Ερευνητικό Ινστιτούτο Τύφου του καθηγητή Ρούντολφ Βάιγκλ. Η απασχόληση στο Ινστιτούτο Βάιγκλ παρείχε προστασία σε πολλούς άνεργους καθηγητές πανεπιστημίου και τους συνεργάτες τους από τυχαίες συλλήψεις και απέλαση στα ναζιστικά στρατόπεδα συγκέντρωσης.
Αφού ο Κόκκινος Στρατός ανακατέλαβε το Λβουφ στην επίθεση Λβουφ-Σαντόμιες του 1944, ο Μπάναχ επέστρεψε στο Πανεπιστήμιο και βοήθησε στην επανίδρυσή του μετά τα χρόνια του πολέμου. Ωστόσο, επειδή οι Σοβιετικοί απομάκρυναν Πολωνούς από τα προσαρτημένα πρώην πολωνικά εδάφη, ο Μπάναχ άρχισε να προετοιμάζεται να εγκαταλείψει την πόλη και να εγκατασταθεί στην Κρακοβία της Πολωνίας, όπου του είχαν υποσχεθεί μια έδρα στο Γιαγκιελόνιο Πανεπιστήμιο. Θεωρήθηκε και υποψήφιος Υπουργός Παιδείας της Πολωνίας. Τον Ιανουάριο του 1945, ωστόσο, διαγνώστηκε με καρκίνο του πνεύμονα και του επέτρεψαν να μείνει στο Λβουφ. Πέθανε στις 31 Αυγούστου 1945, σε ηλικία 53 ετών. Στην κηδεία του στο Κοιμητήριο Λιτσάκιβσκι παρευρέθηκαν εκατοντάδες άνθρωποι.
Συνεισφορές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Η διατριβή του Μπάναχ, που ολοκληρώθηκε το 1920 και δημοσιεύτηκε το 1922, αξιωματοποίησε επίσημα την έννοια ενός πλήρους κανονικοποιημένου διανυσματικού χώρου και έθεσε τα θεμέλια για την περιοχή της συναρτησιακής ανάλυσης. Σε αυτό το έργο, ο Μπάναχ ονόμασε τέτοιους χώρους «χώροι τάξης Ε», αλλά στο βιβλίο του 1932, Théorie des opérations linéaires, άλλαξε ορολογία και τους ανέφερε ως «χώρους τύπου Β», κάτι που πιθανότατα συνέβαλε στην επακόλουθη επώνυμη ονομασία των χώρων αυτών από το όνομά του.[27] Η θεωρία αυτού που έγινε γνωστό ως Χώρος Μπάναχ είχε προηγούμενες εργασίες του Ούγγρου μαθηματικού Φρίγκιες Ρης (δημοσιεύτηκε το 1916) και σύγχρονες συνεισφορές από τους Χανς Χαν και Νόρμπερτ Βίνερ. Στην πραγματικότητα, για μια σύντομη περίοδο, οι πλήρεις κανονικοί γραμμικοί χώροι αναφέρονται ως χώροι «Μπάναχ-Βίνερ» στη μαθηματική βιβλιογραφία, με βάση την ορολογία που εισήγαγε ο ίδιος ο Βίνερ. Ωστόσο, επειδή το έργο του Βίνερ για το θέμα ήταν περιορισμένο, το καθιερωμένο όνομα έγινε μόνο χώρος Μπάναχ.[27]
Ομοίως, το θεώρημα σταθερού σημείου Μπάναχ, βασισμένο σε προηγούμενες μεθόδους που αναπτύχθηκε από τον Εμίλ Πικάρ, συμπεριλήφθηκε στη διατριβή του και αργότερα επεκτάθηκε από τους μαθητές του (για παράδειγμα στο θεώρημα Μπάναχ-Σάουντερ) και άλλους μαθηματικούς (ιδίως τον Λούιτσεν Εχμπέρτους Γιαν Μπράουερ). Το θεώρημα δεν απαιτούσε γραμμικότητα του χώρου και εφαρμόστηκε σε οποιονδήποτε πλήρη χώρο Κωσύ (ιδιαίτερα σε οποιονδήποτε πλήρη μετρικό χώρο).
Το θεώρημα Χαν-Μπάναχ είναι ένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της συναρτησιακής ανάλυσης.
Μετάλλιο Στέφαν Μπάναχ
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Το 1992, το Ινστιτούτο Μαθηματικών της Πολωνικής Ακαδημίας Επιστημών καθιέρωσε ένα ειδικό μετάλλιο Στέφαν Μπάναχ για εξαιρετικά επιτεύγματα στις μαθηματικές επιστήμες.[28]
Παραθέσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ο Στανίσουαφ Ούλαμ, ένας άλλος μαθηματικός της Σχολής Μαθηματικών της Λβιβ, στην αυτοβιογραφία του, παραθέτει τον Μπάναχ να λέει:
- «Οι καλοί μαθηματικοί βλέπουν αναλογίες. Οι σπουδαίοι μαθηματικοί βλέπουν αναλογίες μεταξύ αναλογιών».[29]
Ο Χιούγκο Στάινχαους είπε για τον Μπάναχ:
- «Ο Μπάναχ ήταν η μεγαλύτερη επιστημονική μου ανακάλυψη».[30]
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ 1,0 1,1 1,2 Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 27 Απριλίου 2014.
- ↑ 2,0 2,1 MacTutor History of Mathematics archive. Ανακτήθηκε στις 22 Αυγούστου 2017.
- ↑ 3,0 3,1 (Αγγλικά) SNAC. w66f8h3r. Ανακτήθηκε στις 9 Οκτωβρίου 2017.
- ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 11 Δεκεμβρίου 2014.
- ↑ 5,0 5,1 «Большая советская энциклопедия» (Ρωσικά) Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια. Μόσχα. 1969. Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2015.
- ↑ «Большая советская энциклопедия» (Ρωσικά) Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια. Μόσχα. 1969. Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2015.
- ↑ 7,0 7,1 Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας: (Γαλλικά) καθιερωμένοι όροι της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας. 12281286s. Ανακτήθηκε στις 10 Οκτωβρίου 2015.
- ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 31 Δεκεμβρίου 2014.
- ↑ Τσεχική Εθνική Βάση Δεδομένων Καθιερωμένων Όρων. ola2002151534. Ανακτήθηκε στις 23 Νοεμβρίου 2019.
- ↑ «Google Books». (πολλαπλές γλώσσες) Google Books. MMorKHumdZAC. σελ. 638.
- ↑ 11,0 11,1 Liubomyr Krysa: «Личаківський некрополь» (Ουκρανικά) 2006. σελ. 119. ISBN-13 978-966-8955-00-6.
- ↑ 12,0 12,1 (Αγγλικά) Find A Grave. 13533647.
- ↑ CONOR.SI. 71578467.
- ↑ 14,0 14,1 Ανακτήθηκε στις 22 Ιουλίου 2022.
- ↑ 15,0 15,1 15,2 15,3 MacTutor History of Mathematics archive.
- ↑ Ανακτήθηκε στις 8 Ιουλίου 2019.
- ↑ (Αγγλικά) Mathematics Genealogy Project.
- ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 24 Ιουνίου 2015.
- ↑ 19,0 19,1 Ανακτήθηκε στις 22 Ιουλίου 2022.
- ↑ MacTutor History of Mathematics archive. Banach.
- ↑ https://www.britannica.com/biography/Stefan-Banach, “Stefan Banach POLISH MATHEMATICIAN”
- ↑ https://www.britannica.com/biography/Stefan-Banach, “Polish mathematician who founded modern functional analysis and helped develop the theory of topological vector spaces.”
- ↑ «Maximal left ideals of the Banach algebra of bounded operators on a Banach space». impan.pl.
- ↑ «The Banach-Mazur Game: History and Recent Developments» (PDF). univ-ag.fr.
- ↑ Kałuża 1996
- ↑ Kałuża 1996
- ↑ 27,0 27,1 MacCluer 2008
- ↑ Institute of Mathematics: Stefan Banach Medal Αρχειοθετήθηκε 2020-11-05 στο Wayback Machine. Polish Academy of Sciences
- ↑ National Research Council of the National Academies (25 Μαρτίου 2014). Developing a 21st Century Global Library for Mathematics Research. National Academies Press. σελ. 35. ISBN 9780309298513. Ανακτήθηκε στις 28 Μαρτίου 2018.
- ↑ Strick, Heinz Klaus (2011). «Stefan Banach (March 30, 1892 – August 8, 1945)». Mathematics in Europe (στα Αγγλικά). European Mathematical Society. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 29 Μαρτίου 2018. Ανακτήθηκε στις 28 Μαρτίου 2018.
Πηγές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Jahnke, Hans Niels (2003). A History of Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0821826239.
- Jakimowicz, E., επιμ. (2007). Stefan Banach - Remarkable life, Brilliant mathematics. Gdańsk University Press and Adam Mickiewicz University Press. ISBN 978-83-7326-451-9.
- James, Ioan (2003). Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge University Press. ISBN 0521520940.
- Kałuża, Roman (1996). Through a Reporter's Eyes: The Life of Stefan Banach. Translated by Wojbor Andrzej Woyczyński and Ann Kostant. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3772-9.
- Kosiedowski, Stanisław. «Stefan Banach». Mój Lwów. Ανακτήθηκε στις 20 Μαΐου 2008.
- O'Connor, John J.· Robertson, Edmund F. (2000). «Stefan Banach». MacTutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews. Ανακτήθηκε στις 19 Αυγούστου 2012.
- Siegmund-Schultze, Reinhard (2003). Jahnke, Hans Niels, επιμ. A History of Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2623-9.
- MacCluer, Barbara (2008). Elementary Functional Analysis. Springer. ISBN 978-0387855288.
- Ουρμπάνεκ, Μάριους (April 2002). «Geniusz: gen i już». Polityka 8 (2348). http://www.lwow.com.pl/g8.htm.
- Waksmundzka-Hajnos, Monika (2006). «Wspomnienie o Stefanie Greczku». Focus (Πανεπιστήμιο του Γκντανσκ) (11). http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/greczek.html.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Σελίδα αφιερωμένη στον Στέφαν Μπάναχ Αρχειοθετήθηκε 2019-02-19 στο Wayback Machine.
- Στέφαν Μπάναχ στο Mathematics Genealogy Project
