Έβδομο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το έβδομο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα από τα μαθηματικά προβλήματα που έθεσε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1900. Αφορά την αρρητότητα και την υπερβατικότητα ορισμένων αριθμών (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Με τη βοήθεια του θεωρήματος Γκέλφοντ-Σνάιντερ, για πρώτη φορά δημιουργήθηκε μια εκτεταμένη κατηγορία υπερβατικών αριθμών. Η σύνδεση αυτή βρέθηκε και αποδείχθηκε για πρώτη φορά το 1934 από τον Ρώσο μαθηματικό Άλεξαντερ Γκέλφοντ και ανεξάρτητα λίγο αργότερα από τον Τέοντορ Σνάιντερ. Το θεώρημα απαντά στο έβδομο πρόβλημα του Χίλμπερτ.

Δήλωση του θεωρήματος

Έστω $\alpha$ και $\beta$ αλγεβρικοί αριθμοί (με $\alpha \neq 0,1$). Ο $\beta$ είναι επίσης ένας άρρητος.

Τότε το θεώρημα των Γκέλφοντ-Σνάιντερ λέει:

$\,\alpha ^{\beta }$ είναι υπερβατικός.

Για $\alpha$ και $\beta$ μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν μιγαδικοί αριθμοί. Τότε $\alpha ^{\beta }=\exp(\beta \cdot \ln \alpha )$ . Ο μιγαδικός λογάριθμος προσδιορίζεται μοναδικά μόνο μέχρι πολλαπλάσια του $2\pi \mathrm {i}$. Το θεώρημα είναι σωστό για κάθε επιλογή κλάδου του λογαρίθμου.

Μπορεί επίσης να διατυπωθεί ως εξής: για τους λογαρίθμους δύο αλγεβρικών αριθμών, η γραμμική ανεξαρτησία επί των ρητών αριθμών οδηγεί σε γραμμική ανεξαρτησία επί των αλγεβρικών αριθμών. Με αυτή τη διατύπωση, το θεώρημα Γκέλφοντ-Σνάιντερ επεκτάθηκε σημαντικά από τον Άλαν Μπέικερ τη δεκαετία του 1960.

Το θεώρημα του Μπέικερ είναι: Αν οι $a_{i}\neq 0$ είναι αλγεβρικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $1,\log a_{1},\cdot \cdot \cdot \cdot ,\log a_{n}$ να είναι γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω στους ρητούς αριθμούς, τότε $1,\log a_{1},\cdot \cdot \cdot \cdot ,\log a_{n}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω στους αλγεβρικούς αριθμούς.

Εφαρμογές

Η υπερβατικότητα των ακόλουθων αριθμών προκύπτει άμεσα από το θεώρημα Γκέλφοντ-Σνάιντερ:

• Η σταθερά Γκέλφοντ-Σνάιντερ $2^{\sqrt {2}}$ και ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$
• Η σταθερά Γκέλφοντ $\,e^{\pi }$, da $\,e^{\pi }=e^{\mathrm {i} \pi (-\mathrm {i} )}=(-1)^{-\mathrm {i} }$ . Σημειώστε ότι η $\mathrm {i}$ δεν είναι ρητός αριθμός.
• Ο αριθμός ${\rm {i^{i}}}$, ο οποίος είναι πραγματικός αριθμός επειδή ${\rm {i^{i}}}=\left(e^{\mathrm {i} \pi /2}\right)^{\mathrm {i} }=e^{-\pi /2}\approx 0{,}207879$.
• ${\frac {\log 2}{\log 3}}$ είναι υπερβατικό, διότι διαφορετικά θα έχουμε αντίφαση εισάγοντας $a=3$, $b={\frac {\log 2}{\log 3}}$ (όπου το b είναι άρρητο)

Το θεώρημα Γκέλφοντ-Σνάιντερ αποτέλεσε σημείο καμπής στη θεωρία των υπερβατικών αριθμών και άνοιξε το δρόμο για πολλές μεταγενέστερες έρευνες. Ο Άλαν Μπέικερ επέκτεινε τα αποτελέσματα των Γκέλφοντ και Σνάιντερ. Ο Μπέικερ απέδειξε διάφορα θεωρήματα που γενίκευσαν και βελτίωσαν την κατανόηση των υπερβατικών αριθμών.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός
• Αλγεβρικός αριθμός
• Υπερβατικός αριθμός
• Πραγματικός αριθμός
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Μιγαδικός αριθμός
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους

Βιβλιογραφία

• Tubbs, Robert (23 Νοεμβρίου 2016). Hilbert's Seventh Problem: Solutions and Extensions. Springer. ISBN 978-981-10-2645-4. 
• Parshin, A. N.· Shafarevich, I. R. (9 Μαρτίου 2013). Number Theory IV: Transcendental Numbers. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-03644-0. 
• Murty, M. Ram· Fodden, Brandon (9 Μαΐου 2019). Hilbert’s Tenth Problem: An Introduction to Logic, Number Theory, and Computability. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-4399-3. 
• Garcia, Stephan Ramon· Miller, Steven J. (13 Ιουνίου 2019). 100 Years of Math Milestones: The Pi Mu Epsilon Centennial Collection. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-3652-0. 
• Hua, L.-K. (6 Δεκεμβρίου 2012). Introduction to Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-68130-1. 
• Huber, Annette· Wüstholz, Gisbert (26 Μαΐου 2022). Transcendence and Linear Relations of 1-Periods. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-02271-2. 
• Hazewinkel, Michiel (6 Δεκεμβρίου 2012). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement Volume II. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-1279-4. 
• Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3. 
• Yandell, Ben (12 Δεκεμβρίου 2001). The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6422-7. 
• Zudilin, Wadim (22 Αυγούστου 2023). Analytic Methods In Number Theory: When Complex Numbers Count. World Scientific. ISBN 978-981-12-7933-1. 

Παραπομπές

• Tijdeman, Robert (1976). «On the Gel'fond–Baker method and its applications». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1. American Mathematical Society. σελίδες 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026. 
• Manin, Yu. I.· Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (Second έκδοση). σελ. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002. 
• Tate, John (1976). «Problem 9: The general reciprocity law». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.2. American Mathematical Society. σελίδες 311–322. ISBN 0-8218-1428-1. 
• Milnor, J. (1976), «Hilbert's problem 18», στο: Browder, Felix E., επιμ., Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proceedings of symposia in pure mathematics, 28, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1428-1 

Πηγές

• Lorenat, Jemma· McCleary, John (4 Οκτωβρίου 2024). Max Dehn: Polyphonic Portrait. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6106-5. 
• Hazewinkel, Michiel (23 Νοεμβρίου 2007). Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-306-48373-8. 
• Shidlovskii, Andrei B. (1 Ιουνίου 2011). Transcendental Numbers. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-088905-5. 
• Bauer, Craig (14 Μαΐου 2020). Discrete Encounters. CRC Press. ISBN 978-0-429-68288-9. 
• Reid, Constance (5 Ιουνίου 2013). Courant. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21626-3. 
• Menzler-Trott, Eckart (7 Μαρτίου 2013). Gentzens Problem: Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland. Springer-Verlag. ISBN 978-3-0348-8325-2.