Δέκατο έβδομο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δέκατο έβδομο πρόβλημα Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που περιλαμβάνονται σε έναν διάσημο κατάλογο που συνέταξε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1900. Αφορά την έκφραση ρητών συναρτήσεων ως πηλίκο αθροισμάτων τετραγώνων. Το αρχικό ερώτημα μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως εξής:

• Δεδομένου ενός πολυμεταβλητού πολυωνύμου που παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές στους πραγματικούς, μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων ρητών συναρτήσεων;

Το ερώτημα του Χίλμπερτ μπορεί να περιοριστεί σε ομογενή πολυώνυμα ζυγού βαθμού, δεδομένου ότι ένα πολυώνυμο μονού βαθμού αλλάζει πρόσημο και η Ομογενοποίηση ενός πολυωνύμου παίρνει μη αρνητικές τιμές μόνο εάν και μόνο εάν ισχύει το ίδιο και για το πολυώνυμο.

Κίνητρα

Η διατύπωση του ερωτήματος λαμβάνει υπόψιν ότι υπάρχουν μη αρνητικά πολυώνυμα, παραδείγματος χάριν

$f(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2},$

τα οποία δεν μπορούν να παρασταθούν ως άθροισμα τετραγώνων άλλων πολυωνύμων. Το 1888, ο Χίλμπερτ έδειξε ότι κάθε μη αρνητικό ομογενές πολυώνυμο σε n μεταβλητές και βαθμό 2d μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων άλλων πολυωνύμων αν και μόνο αν (a) n = 2 ή (b) 2d = 2 ή (c) n = 3 και 2d = 4. Η απόδειξη του Χίλμπερτ δεν παρουσίασε κανένα ξεκάθαρο αντιπαράδειγμα: μόλις το 1967 κατασκευάστηκε το πρώτο σαφές αντιπαράδειγμα από τον Μότζκιν. Επιπλέον, αν το πολυώνυμο έχει βαθμό 2d μεγαλύτερο από δύο, υπάρχουν σημαντικά περισσότερα μη αρνητικά πολυώνυμα που δεν μπορούν να εκφραστούν ως αθροίσματα τετραγώνων .

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει σε ποιες περιπτώσεις κάθε μη αρνητικό ομογενές πολυώνυμο (ή πολυώνυμο ζυγού βαθμού) μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων:

Οποιοδήποτε ομογενές πολυώνυμο βαθμού 2d και n μεταβλητών μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων;		2d (Βαθμός)				Κάθε πολυώνυμο βαθμού 2d και n μεταβλητών μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων;		2d (Βαθμός)
		2	4	≥6				2	4	≥6
n (Αριθμός μεταβλητών)	1	Ναι	Ναι	Ναι		n (Αριθμός μεταβλητών)	1	Ναι	Ναι	Ναι
	2	Ναι	Ναι	Ναι			2	Ναι	Ναι	Όχι
	3	Ναι	Ναι	Όχι			3	Ναι	Όχι	Όχι
	≥4	Ναι	Όχι	Όχι			≥4	Ναι	Όχι	Όχι

Λύση και γενικεύσεις

Η ειδική περίπτωση του n = 2 είχε ήδη επιλυθεί από τον Χίλμπερτ το 1893. Το γενικό πρόβλημα επιλύθηκε καταφατικά, το 1927, από τον Εμίλ Άρτιν για θετικές ημικαθορισμένες συναρτήσεις πάνω στους πραγματικούς ή γενικότερα σε πραγματικά κλειστά σώματα. Μια αλγοριθμική λύση βρέθηκε από τον Σαρλ Ντελζέλ το 1984. Ένα αποτέλεσμα του Άλμπρεχτ Πφίστερ δείχνει ότι μια θετική ημικαθορισμένη μορφή σε n μεταβλητές μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα 2ⁿ τετραγώνων

Ο Ντιμπουά έδειξε το 1967 ότι η απάντηση είναι αρνητική γενικά για διατεταγμένα σώματα. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι ένα θετικό πολυώνυμο είναι ένα άθροισμα σταθμισμένων τετραγώνων ρητών συναρτήσεων με θετικούς συντελεστές. Ο ΜακΚένα έδειξε το 1975 ότι όλα τα θετικά ημικαθορισμένα πολυώνυμα με συντελεστές σε ένα διατεταγμένο σώμα είναι αθροίσματα σταθμισμένων τετραγώνων ρητών συναρτήσεων με θετικούς συντελεστές μόνο αν το σώμα είναι πυκνό στο πραγματικό του κλείσιμο, με την έννοια ότι κάθε διάστημα του οποίου τα άκρα βρίσκονται στο πραγματικό κλείσιμο περιέχει στοιχεία του αρχικού σώματος.

Μια γενίκευση στην περίπτωση των πινάκων (πίνακες με πολυωνυμικές καταχωρήσεις συναρτήσεων που είναι πάντα θετικά ημικαθορισμένοι μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα τετραγώνων συμμετρικών πινάκων με καταχωρήσεις ρητών συναρτήσεων) δόθηκε από τους Γκοντάρ, Ριμπενμπόιμ και Προτσέσι, Σάχερ, με μια στοιχειώδη απόδειξη που δόθηκε από τους Χίλαρ και Νι.

Ελάχιστος αριθμός τετραγωνικών ρητών όρων

Το ερώτημα παραμένει ανοικτό ως προς το ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός.

$v(n,d),$

ώστε κάθε n-μεταβλητό, μη αρνητικό πολυώνυμο βαθμού d να μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ $v(n,d)$ τετραγωνικών ρητών συναρτήσεων πάνω στους πραγματικούς. Ένα ανώτερο όριο που οφείλεται στον Πφίστερ το 1967 είναι:

$v(n,d)\leq 2^{n},$

Προς την άλλη κατεύθυνση, ένα υπό όρους κατώτερο όριο μπορεί να προκύψει από την υπολογιστική θεωρία πολυπλοκότητας. Μια n-μεταβλητή περίπτωση της 3-SAT μπορεί να υλοποιηθεί ως ένα πρόβλημα θετικότητας σε ένα πολυώνυμο με n μεταβλητές και d=4. Αυτό αποδεικνύει ότι ο έλεγχος θετικότητας είναι NP-Hard. Πιο συγκεκριμένα, υποθέτοντας ότι η υπόθεση του εκθετικού χρόνου είναι αληθής, $v(n,d)=2^{\Omega (n)}$.

Στην μιγαδική ανάλυση το Ερμιτιανό ανάλογο, που απαιτεί τα τετράγωνα να είναι τετραγωνικές νόρμες ολόμορφων απεικονίσεων, είναι κάπως πιο περίπλοκο, αλλά αληθές για θετικά πολυώνυμα από ένα αποτέλεσμα του Κουίλεν. Το αποτέλεσμα του Πφίστερ από την άλλη πλευρά αποτυγχάνει στην Ερμιτιανή περίπτωση, δηλαδή δεν υπάρχει όριο για τον αριθμό των τετραγώνων που απαιτούνται, βλέπε Νταντζέλο-Λεμπλ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ
• Ρητή συνάρτηση
• Ομογενές πολυώνυμο
• Τετράγωνο (άλγεβρα)
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Πραγματικός αριθμός
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Μιγαδική ανάλυση
• Θεωρία πολυπλοκότητας

Βιβλιογραφία

• Lorenz, Falko (24 Νοεμβρίου 2007). Algebra: Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72488-1. 
• Agarwal, A. K.· Berndt, Bruce C. (6 Δεκεμβρίου 2012). Number Theory and Discrete Mathematics. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-8223-1. 
• Roselló, Joan (1 Φεβρουαρίου 2019). Hilbert, Göttingen and the Development of Modern Mathematics. Cambridge Scholars Publishing. ISBN 978-1-5275-2762-1. 
• Dauben, Joseph Warren (14 Ιουλίου 2014). Abraham Robinson: The Creation of Nonstandard Analysis, A Personal and Mathematical Odyssey. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-6409-6. 
• Galbiati, Margherita· Tognoli, Alberto (14 Νοεμβρίου 2006). Real Analytic and Algebraic Geometry: Proceedings of the Conference held in Trento, Italy, October 3-7, 1988. Springer. ISBN 978-3-540-46952-0. 
• Engeler, Erwin (6 Δεκεμβρίου 2012). Foundations of Mathematics: Questions of Analysis, Geometry & Algorithmics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-78052-3. 
• Grinberg, Eric (2000). Analysis, Geometry, Number Theory: The Mathematics of Leon Ehrenpreis: The Mathematics of Leon Ehrenpreis. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1148-1. 

Παραπομπές

• Pfister, Albrecht (1976). «Hilbert's seventeenth problem and related problems on definite forms». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.2. American Mathematical Society. σελίδες 483–489. ISBN 0-8218-1428-1. 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer-Verlag. σελίδες 15–27. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 

Πηγές

• «Why is Hilbert's Seventeenth Problem important?». History of Science and Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 7 Δεκεμβρίου 2024. 
• «Symmetric version of Hilbert's seventeenth problem?». MathOverflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 7 Δεκεμβρίου 2024. 
• Volčič, Jurij (2020-01). «Hilbert’s 17th problem in free skew fields» (στα αγγλικά). Forum of Mathematics, Sigma 9: e61. doi:10.1017/fms.2021.54. ISSN 2050-5094. https://www.cambridge.org/core/journals/forum-of-mathematics-sigma/article/hilberts-17th-problem-in-free-skew-fields/1DC74DC3E0E011210C826FF4DCA24DE1.