Δέκατο τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Στα μαθηματικά, το δέκατο τέταρτο πρόβλημα Χίλμπερτ, δηλαδή ο αριθμός 14 των προβλημάτων Χίλμπερτ που προτάθηκαν το 1900, θέτει το ερώτημα αν ορισμένες άλγεβρες παράγονται πεπερασμένα.

Το πλαίσιο έχει ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι το k είναι ένα σώμα και ότι το K είναι ένα υποσώμα του σώματος των ρητών συναρτήσεων σε n μεταβλητές,

k(x₁, ..., x_n ) over k.

Ας θεωρήσουμε τώρα την k-άλγεβρα R που ορίζεται ως η τομή

$R:=K\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]\ .$

ο Χίλμπερτ υπέθεσε ότι όλες αυτές οι άλγεβρες παράγονται πεπερασμένα πάνω στο k.

Επιβεβαιώθηκαν ορισμένα αποτελέσματα που επαλήθευσαν την εικασία του Χίλμπερτ σε ειδικές περιπτώσεις και για ορισμένες κατηγορίες δακτυλίων (ιδίως η εικασία επαληθεύθηκε άνευ όρων για n = 1 και n = 2 από τον Ζαρίσκι το 1954). Στη συνέχεια, το 1959 ο Μασαγιόσι Ναγκάτα βρήκε ένα αντιπαράδειγμα στην εικασία του Χίλμπερτ. Το αντιπαράδειγμα του Ναγκάτα είναι ένας κατάλληλα κατασκευασμένος δακτύλιος αναλλοίωτων για τη δράση μιας γραμμικής αλγεβρικής ομάδας.

Ιστορία

Το πρόβλημα προέκυψε αρχικά στην αλγεβρική θεωρία αναλλοίωτων. Εδώ ο δακτύλιος R δίνεται ως ένας (κατάλληλα ορισμένος) δακτύλιος πολυωνυμικών αναλλοίωτων μιας γραμμικής αλγεβρικής ομάδας πάνω σε ένα σώμα k που δρα αλγεβρικά πάνω σε έναν πολυωνυμικό δακτύλιο k[x₁, ..., x_n] (ή γενικότερα, σε μια πεπερασμένης παραγωγής άλγεβρα που ορίζεται πάνω σε ένα σώμα). Στην περίπτωση αυτή το σώμα K είναι το σώμα των ρητών συναρτήσεων (πηλίκα πολυωνύμων) στις μεταβλητές x_i που είναι αναλλοίωτες κάτω από τη δεδομένη δράση της αλγεβρικής ομάδας, ο δακτύλιος R είναι ο δακτύλιος των πολυωνύμων που είναι αναλλοίωτα κάτω από τη δράση. Ένα κλασικό παράδειγμα τον δέκατο ένατο αιώνα ήταν η εκτεταμένη μελέτη (ιδίως από τους Κέιλι, Σίλβεστερ, Κλεμπς, Πολ Γκόρνταν και επίσης από τον Χίλμπερτ) των αναλλοίωτων των δυαδικών μορφών σε δύο μεταβλητές με τη φυσική δράση της ειδικής γραμμικής ομάδας SL₂(k) σε αυτήν. Ο ίδιος ο Χίλμπερτ απέδειξε την πεπερασμένη δημιουργία αναλλοίωτων δακτυλίων στην περίπτωση του σώματος των μιγαδικών αριθμών για ορισμένες κλασικές ημι-απλές ομάδες Λι (ιδίως τη γενική γραμμική ομάδα πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς) και συγκεκριμένες γραμμικές δράσεις πάνω σε πολυωνυμικούς δακτυλίους, δηλαδή δράσεις που προέρχονται από πεπερασμένης διάστασης απεικονίσεις της ομάδας Λι. Αυτό το πεπερασμένο αποτέλεσμα επεκτάθηκε αργότερα από τον Χέρμαν Βάιλ στην κλάση όλων των ημι-απλών ομάδων Λι. Ένα σημαντικό συστατικό στην απόδειξη του Χίλμπερτ είναι το θεώρημα βάσης Χίλμπερτ που εφαρμόζεται στο ιδανικό μέσα στον πολυωνυμικό δακτύλιο που δημιουργείται από τις αναλλοίωτες.

Η διατύπωση του Ζαρίσκι

Η διατύπωση του Ζαρίσκι για το δέκατο τέταρτο πρόβλημα του Χίλμπερτ διερωτάται αν, για μια οιονεί αφηρημένη αλγεβρική ποικιλία Χ πάνω από ένα σώμα k, θεωρώντας ενδεχομένως ότι η Χ είναι κανονική ή λεία, ο δακτύλιος των κανονικών συναρτήσεων στη Χ παράγεται πεπερασμένα πάνω στο k.

Η διατύπωση του Ζαρίσκι αποδείχθηκε ότι είναι ισοδύναμη με το αρχικό πρόβλημα, για κανονικό Χ. (Βλέπε επίσης: Θεώρημα πεπερατότητας του Ζαρίσκι).

Ο Εφέντιεφ Φ.Φ. ( Φουάντ Εφέντι) παρείχε συμμετρικό αλγόριθμο που παράγει βάση αναλλοίωτων n-ary μορφών βαθμού r.

Το αντιπαράδειγμα του Ναγκάτα

Ο Ναγκάτα (Nagata (1960)) έδωσε το ακόλουθο αντιπαράδειγμα στο πρόβλημα του Χίλμπερτ. Το σώμα k είναι ένα σώμα που περιέχει 48 στοιχεία a_1i, ...,a_16i, για i=1, 2, 3 που είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω στο πρώτο σώμα. Ο δακτύλιος R είναι ο πολυωνυμικός δακτύλιος k[x₁,...,x₁₆, t₁,...,t₁₆] σε 32 μεταβλητές. Ο διανυσματικός χώρος V είναι ένας 13-διάστατος διανυσματικός χώρος πάνω από το k που αποτελείται από όλα τα διανύσματα (b₁,...,b₁₆) στο k16 που είναι ορθογώνια σε κάθε ένα από τα τρία διανύσματα (a_1i, ...,a_16i) για i=1, 2, 3. Ο διανυσματικός χώρος V είναι μια 13-διάστατη αντιμεταθετική μονοδύναμη αλγεβρική ομάδα υπό πρόσθεση και τα στοιχεία του δρουν στον R καθορίζοντας όλα τα στοιχεία t_j και παίρνοντας x_j + b_jt_j. Τότε ο δακτύλιος των στοιχείων του R που παραμένει αναλλοίωτος κάτω από τη δράση της ομάδας V δεν είναι μια πεπερασμένης παράγωγης k-άλγεβρα.

Αρκετοί συγγραφείς περιόρισαν τα μεγέθη της ομάδας και του διανυσματικού χώρου στο παράδειγμα του Ναγκάτα. Παραδείγματος χάριν, ο Τοτάρο (Totaro (2008)) έδειξε ότι πάνω σε οποιοδήποτε πεδίο υπάρχει μια δράση του αθροίσματος G3
a τριών αντιγράφων της προσθετικής ομάδας στο k¹⁸, του οποίου ο δακτύλιος των αναλλοίωτων δεν έχει πεπερασμένη παραγωγή.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Διαφορική εξίσωση
• Δακτύλιος (μαθηματικά)
• Μιγαδικός αριθμός
• Γραμμική άλγεβρα
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ρητή συνάρτηση
• Μασαγιόσι Ναγκάτα
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Επιφάνεια Ρίμαν
• Διανυσματικός χώρος

Βιβλιογραφία

• Masuda, Kayo· Kojima, Hideo (2013). Affine Algebraic Geometry: Proceedings of the Conference, Osaka, Japan, 3-6 March 2011. World Scientific. ISBN 978-981-4436-70-0. 
• Dolgachev, Igor (7 Αυγούστου 2003). Lectures on Invariant Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-52548-0. 
• Essen, Arno van den· Kuroda, Shigeru (31 Μαρτίου 2021). Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture: New Results from the Beginning of the 21st Century. Springer Nature. ISBN 978-3-030-60535-3. 
• Rowen, Louis Halle (2006). Graduate Algebra: Commutative View. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8397-6. 
• Corry, Leo (6 Δεκεμβρίου 2012). Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-7917-0. 
• Essen, Arnoldus Richardus Petrus van den (2000). Polynomial Automorphisms: And the Jacobian Conjecture. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-6350-5. 
• Abramovich, Dan (2009). Algebraic Geometry: 2005 Summer Research Institute, July 25-August 12, 2005, University of Washington, Seattle, Washington. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4703-9. 
• Montgomery, Susan (1985). Group Actions on Rings. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5046-6. 
• Lehrer, Gustav I.· Taylor, Donald E. (13 Αυγούστου 2009). Unitary Reflection Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-74989-3. 

Παραπομπές

• Nagata, Masayoshi (1960), «On the fourteenth problem of Hilbert», Proc. Internat. Congress Math. 1958, Cambridge University Press, σελ. 459–462, http://mathunion.org/ICM/ICM1958/ 
• Nagata, Masayoshi (1965), Lectures on the fourteenth problem of Hilbert, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, 31, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr31.pdf 
• Totaro, Burt (2008), «Hilbert's 14th problem over finite fields and a conjecture on the cone of curves», Compositio Mathematica 144 (5): 1176–1198, doi:10.1112/S0010437X08003667, ISSN 0010-437X 
• O. Zariski, Interpretations algebrico-geometriques du quatorzieme probleme de Hilbert, Bulletin des Sciences Mathematiques 78 (1954), pp. 155–168.

Πηγές

• Tomi, F.; Tromba, A. (2019-09-20). «Morse theory and Hilbert’s 19th problem» (στα αγγλικά). Calculus of Variations and Partial Differential Equations 58 (5): 172. doi:10.1007/s00526-019-1614-0. ISSN 1432-0835. https://link.springer.com/article/10.1007/s00526-019-1614-0. 
• «Hilbert problems - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 11 Δεκεμβρίου 2024. 
• Weisstein, Eric W. «Hilbert's Problems». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 11 Δεκεμβρίου 2024. 
• «Analytic version of Hilbert's XIX problem». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 11 Δεκεμβρίου 2024.