Δακτύλιος (μαθηματικά)

Ένας δακτύλιος

Απεικόνιση της μεθόδου οπτικού υπολογισμού του Μαμικόν που δείχνει ότι τα εμβαδά δύο δακτυλίων με το ίδιο μήκος χορδής είναι τα ίδια ανεξάρτητα από την εσωτερική και την εξωτερική ακτίνα.

Στα μαθηματικά, ο δακτύλιος (πληθ.: δακτύλιος ή δακτύλιοι) είναι η περιοχή μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων. Ανεπίσημα, έχει σχήμα δακτυλίου ή ροδέλας. Η ελληνική λέξη "δακτύλιος" προέρχεται από τα αρχαία ελληνικά ενώ στα αγγλικά χρησιμοποιείται η λατινική λέξη «annulus» που σημαίνει «δακτύλιος».

Ο ανοιχτός δακτύλιος είναι τοπολογικος ισομορφισμός τόσο με τον ανοιχτό κύλινδρο S¹ × (0,1) όσο και με το διάτρητο επίπεδο.

Περιοχή

Το εμβαδόν ενός δακτυλίου είναι η διαφορά των εμβαδών του μεγαλύτερου κύκλου ακτίνας R και του μικρότερου κύκλου ακτίνας r:

$A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).$

Ως επακόλουθο του τύπου της χορδής, το εμβαδόν που οριοθετείται από τον περιγεγραμμένο κύκλο και τον εγγεγραμμένο κύκλο κάθε μοναδιαίου κυρτού κανονικού πολυγώνου είναι π/4

Το εμβαδόν ενός δακτυλίου καθορίζεται από το μήκος του μεγαλύτερου ευθύγραμμου τμήματος εντός του δακτυλίου, το οποίο είναι η χορδή που εφάπτεται στον εσωτερικό κύκλο, 2d στο συνοδευτικό διάγραμμα. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού η ευθεία αυτή εφάπτεται στον μικρότερο κύκλο και κάθετη στην ακτίνα του σε αυτό το σημείο, οπότε οι d και r είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα R, και το εμβαδόν του δακτυλίου δίνεται από τη σχέση

$A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}.$

Το εμβαδόν μπορεί επίσης να ληφθεί μέσω του λογισμού διαιρώντας τον δακτύλιο σε έναν άπειρο αριθμό δακτυλίων απειροελάχιστου πλάτους dρ και εμβαδού 2πρ dρ και στη συνέχεια ολοκληρώνοντας από ρ = r to ρ = R:

$A=\int _{r}^{R}\!\!2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).$

Το εμβαδόν ενός ενός δακτυλικού τομέα γωνίας θ, με θ που μετριέται σε ακτίνια, δίνεται από τη σχέση

$A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right).$

Σύνθετη δομή

Στην μιγαδική ανάλυση ένας δακτύλιος ann(a; r, R) στο μιγαδικό επίπεδο είναι μια ανοικτή περιοχή που ορίζεται ως

$r<|z-a|<R.$

Αν r είναι 0, η περιοχή είναι γνωστή ως διάτρητος δίσκος (ένας δίσκος με μια σημειακή οπή στο κέντρο) ακτίνας R γύρω από το σημείο a.

Ως υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου, ένας δακτύλιος μπορεί να θεωρηθεί ως επιφάνεια Ρίμαν. Η μιγαδική δομή ενός δακτυλίου εξαρτάται μόνο από τον λόγο r/R. Κάθε δακτύλιος ann(a'; r, R) μπορεί να απεικονιστεί ολόμορφα σε έναν τυπικό δακτύλιο με κέντρο την αρχή και εξωτερική ακτίνα 1 μέσω του χάρτη

$z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.$

Η εσωτερική ακτίνα είναι τότε r/R < 1.

Το θεώρημα των τριών κύκλων του Χαντάμαρ είναι μια δήλωση σχετικά με τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει μια ολομορφική συνάρτηση μέσα σε ένα δακτύλιο.

Ο μετασχηματισμός Τζουκόφσκι απεικονίζει συμμορφικά έναν δακτύλιο σε μια έλλειψη με μια σχισμή που κόβεται μεταξύ των εστιών.

Δημοσιεύσεις

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2022. 
• Johnson, Roger A. (1929), «X. Inscribed and Escribed Circles», Modern Geometry, Houghton Mifflin, σελ. 182–194, https://archive.org/details/moderngeometry0000unse_q5z5/page/182/ 

• Edwards, Robert D. (1984), «The solution of the 4-dimensional annulus conjecture (after Frank Quinn)», Four-manifold theory (Durham, N.H., 1982), Contemp. Math., 35, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 211–264, doi:10.1090/conm/035/780581, ISBN 9780821850336 
• Kirby, Robion C. (1969), «Stable homeomorphisms and the annulus conjecture», Annals of Mathematics, Second Series 89 (3): 575–582, doi:10.2307/1970652, ISSN 0003-486X 
• Torrens, A B (1 January 1986). «On Angles and Angular Quantities». Metrologia 22 (1): 1–7. doi:10.1088/0026-1394/22/1/002. Bibcode: 1986Metro..22....1T. 
• Brownstein, K. R. (July 1997). «Angles—Let's treat them squarely». American Journal of Physics 65 (7): 605–614. doi:10.1119/1.18616. Bibcode: 1997AmJPh..65..605B. 
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag|, ISBN 978-0-387-90465-8 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag|, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052 , esp. chapter IV.
• Moon P, Spencer DE (1988). «Rectangular Coordinates (x, y, z)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print έκδοση). New York: Springer-Verlag. σελίδες 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2. 
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN 52-11515. 
• Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7. 
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: en:John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6. 
• Hubbard, John H.· West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. σελ. 204. ISBN 978-0-387-94377-0. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Δακτύλιος (άλγεβρα)
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Διανυσματική προβολή
• Διαβήτης (όργανο)
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Λέοναρντ Όιλερ
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Μιγαδική ανάλυση
• Μιγαδικό επίπεδο
• Διανυσματική προβολή
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and .., page 342
• Encyclopaedia of Mathematics: Stochastic Approximation — Zygmund Class of., page 287
• Complex Dynamical Systems: The Mathematics Behind the Mandelbrot and Julia ... page 55...
• Operator Methods in Mathematical Physics: Conference on Operator Theory ..., page 107
• Dynamical Properties of Diffeomorphisms of the Annulus and of the Torus, ....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016), Calculus: Early Transcendentals (11th έκδοση), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-118-88382-2 
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd έκδοση), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1, https://archive.org/details/calculus01apos 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . In particular chapters III and IV.
• Flanigan, Francis J. (1983). Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions. Dover. ISBN 0-486-61388-7.