Έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ
Το έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι η αξιωματοποίηση των κλάδων της φυσικής στους οποίους τα μαθηματικά υπερισχύουν. Εμφανίζεται στον ευρέως αναφερόμενο κατάλογο των προβλημάτων του Χίλμπερτ στα μαθηματικά που παρουσίασε το έτος 1900[2]: Η ρητή διατύπωσή του στα ελληνικά είναι η εξής:
«6. Μαθηματική επεξεργασία των αξιωμάτων της φυσικής. Η έρευνα για τα θεμέλια της γεωμετρίας υποδηλώνει το εξής πρόβλημα: να αντιμετωπιστούν με τον ίδιο τρόπο, μέσω αξιωμάτων, οι φυσικές επιστήμες στις οποίες τα μαθηματικά παίζουν ήδη σημαντικό ρόλο- πρώτες από αυτές είναι η θεωρία πιθανοτήτων και η μηχανική.»
Ο Χίλμπερτ έδωσε μια πιο λεπτομερή εξήγηση αυτού του προβλήματος και των πιθανών ειδικών μορφών του:
«Όσον αφορά τα αξιώματα της θεωρίας των πιθανοτήτων, μου φαίνεται επιθυμητό η λογική διερεύνησή τους να συνοδεύεται από μια αυστηρή και ικανοποιητική ανάπτυξη της μεθόδου των μέσων τιμών στη μαθηματική φυσική, και ιδίως στην κινητική θεωρία των αερίων. ... Το έργο του Μπόλτζμαν για τις αρχές της μηχανικής υποδεικνύει το πρόβλημα της μαθηματικής ανάπτυξης των οριακών διαδικασιών, που εκεί απλώς υποδεικνύονται, οι οποίες οδηγούν από την ατομιστική θεώρηση στους νόμους της κίνησης των συνεχών».
Ιστορία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Ο ίδιος ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ αφιέρωσε μεγάλο μέρος της έρευνάς του στο έκτο πρόβλημα[3]. Ειδικότερα, εργάστηκε σε εκείνους τους τομείς της φυσικής που προέκυψαν μετά τη διατύπωση του προβλήματος.
Στη δεκαετία του 1910, η ουράνια μηχανική εξελίχθηκε στη γενική σχετικότητα. Ο Χίλμπερτ και η Έμι Νέτερ αλληλογραφούσαν εκτενώς με τον Άλμπερτ Αϊνστάιν για τη διατύπωση της θεωρίας[4].
Στη δεκαετία του 1920, η μηχανική των μικροσκοπικών συστημάτων εξελίχθηκε στην κβαντομηχανική. Ο Χίλμπερτ, με τη βοήθεια των Τζον φον Νόιμαν, Λ. Νόρντχαϊμ και Ε. Π. Βίνγκερ, εργάστηκε πάνω στην αξιωματική βάση της κβαντομηχανικής (βλ. χώρος Χίλμπερτ)[5]. Παράλληλα, αλλά ανεξάρτητα, ο Ντιράκ διατύπωσε την κβαντομηχανική με έναν τρόπο που είναι κοντά σε ένα αξιωματικό σύστημα, όπως και ο Χέρμαν Βάιλ με τη βοήθεια του Έρβιν Σρέντινγκερ.
Στη δεκαετία του 1930, η θεωρία πιθανοτήτων τέθηκε σε αξιωματική βάση από τον Αντρέι Κολμογκόροφ, χρησιμοποιώντας τη θεωρία μέτρου.
Από τη δεκαετία του 1960, μετά το έργο των Άρθουρ Γουάιτμαν και Ρούντολφ Χάαγκ, η σύγχρονη κβαντική θεωρία πεδίου μπορεί επίσης να θεωρηθεί κοντά σε μια αξιωματική περιγραφή.
Κατά την περίοδο 1990-2000 το πρόβλημα των «οριακών διαδικασιών, οι οποίες απλώς υποδεικνύονται, και οι οποίες οδηγούν από την ατομιστική θεώρηση στους νόμους της κίνησης των συνεχών» προσεγγίστηκε από πολλές ομάδες μαθηματικών. Τα κυριότερα πρόσφατα αποτελέσματα συνοψίζονται από τους Λορ Σαιν Ρεϊμόν,[6] Μάρσαλ Σλέμροντ,[7] Αλεξάντερ Ν. Γκόρμπαν και Ίλια Κάρλιν[8].
Κατάσταση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Το έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ ήταν μια πρόταση για την επέκταση της αξιωματικής μεθόδου έξω από τους υπάρχοντες μαθηματικούς κλάδους, στη φυσική και πέραν αυτής. Αυτή η επέκταση απαιτεί την ανάπτυξη μιας σημασιολογίας της φυσικής με μια τυπική ανάλυση της έννοιας της φυσικής πραγματικότητας που πρέπει να γίνει[9]. Δύο θεμελιώδεις θεωρίες συλλαμβάνουν την πλειονότητα των θεμελιωδών φαινομένων της φυσικής:
- Θεωρία κβαντικών πεδίων,[10] η οποία παρέχει το μαθηματικό πλαίσιο για το Καθιερωμένο Πρότυπο,
- Γενική σχετικότητα, η οποία περιγράφει τον χωροχρόνο και τη βαρύτητα σε μακροσκοπική κλίμακα.
Ο Χίλμπερτ θεωρούσε ότι η γενική σχετικότητα αποτελεί ουσιαστικό μέρος των θεμελίων της φυσικής[11][12], Ωστόσο, η κβαντική θεωρία πεδίου δεν είναι λογικά συνεπής με τη γενική σχετικότητα, υποδεικνύοντας την ανάγκη για μια άγνωστη ακόμη θεωρία της κβαντικής βαρύτητας, όπου η σημασιολογία της φυσικής αναμένεται να διαδραματίσει κεντρικό ρόλο. Το έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ παραμένει επομένως ανοιχτό[13]. Παρ' όλα αυτά, τα τελευταία χρόνια ενθάρρυνε την έρευνα στα θεμέλια της φυσικής με ιδιαίτερη έμφαση στο ρόλο της λογικής και της ακρίβειας της γλώσσας, οδηγώντας σε ορισμένα ενδιαφέροντα αποτελέσματα, όπως π.χ. την άμεση υλοποίηση της αρχής της αβεβαιότητας από τον ορισμό της «παραγώγου» του Κωσύ και την αποκάλυψη ενός σημασιολογικού εμποδίου στην πορεία οποιασδήποτε θεωρίας της κβαντικής βαρύτητας από την αξιωματική οπτική γωνία,[14] την αποκάλυψη μιας λογικής ταυτολογίας στις κβαντικές δοκιμές της αρχής της ισοδυναμίας[15] και την τυπική μη αποδεικσιμότητα της πρώτης εξίσωσης του Μάξγουελ[16].
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
- Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
- Proof of Dehn's Theorem at Everything2
- Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
- Dehn Invariant at Everything2
- Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ
- Κβαντική μηχανική
- Θεωρία πιθανοτήτων
- Χέρμαν Βάυλ
- Κβαντική θεωρία πεδίου
- Γενική θεωρία της σχετικότητας
- Χώρος Χίλμπερτ
- Ντάβιντ Χίλμπερτ
- Ευκλείδειος χώρος
- Καθιερωμένο Πρότυπο
- Υπερβολική γεωμετρία
Βιβλιογραφία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Costa, Newton C. A. da· Doria, Francisco Antonio (25 Ιανουαρίου 2022). On Hilbert's Sixth Problem. Springer Nature. ISBN 978-3-030-83837-9.
- Stakhov, Alexey· Aranson, Samuil (14 Ιουλίου 2016). "Golden" Non-euclidean Geometry, The: Hilbert's Fourth Problem, "Golden" Dynamical Systems, And The Fine-structure Constant. World Scientific. ISBN 978-981-4678-31-5.
- Plato, Jan von (12 Ιανουαρίου 1998). Creating Modern Probability: Its Mathematics, Physics and Philosophy in Historical Perspective. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59735-7.
- Horzela, Andrzej (2002). Proceedings of the Second International Symposium on Quantum Theory and Symmetries: Krak¢w, Poland, July 18-21, 2001. World Scientific. ISBN 978-981-02-4887-1.
- Emch, Gerard G.· Liu, Chuang (17 Απριλίου 2013). The Logic of Thermostatistical Physics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04886-3.
- Renn, Jürgen (17 Ιουνίου 2007). The Genesis of General Relativity: Sources and Interpretations. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4000-9.
- Dobrushkin, Vladimir A. (9 Μαρτίου 2016). Methods in Algorithmic Analysis. CRC Press. ISBN 978-1-4200-6830-6.
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Gorban, Alexander N.· Karlin, Ilya V. (2005). Invariant Manifolds for Physical and Chemical Kinetics. Lecture Notes in Physics (LNP, vol. 660). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/b98103. ISBN 978-3-540-22684-0. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Αυγούστου 2020. Alt URL
- ↑ Hilbert, David (1902). «Mathematical Problems». Bulletin of the American Mathematical Society 8 (10): 437–479. doi:. . Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253–297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3rd series, vol. 1 (1901), pp. 44-63, 213–237.
- ↑ Corry, L. (1997). «David Hilbert and the axiomatization of physics (1894–1905)». Archive for History of Exact Sciences 51 (2): 83–198. doi:.
- ↑ Sauer 1999, σελ. 6
- ↑ van Hove, Léon (1958). «Von Neumann's contributions to quantum theory». Bull. Amer. Math. Soc. 64 (3): 95–99. doi:. . .
- ↑ Saint-Raymond, L. (2009). Hydrodynamic limits of the Boltzmann equation. Lecture Notes in Mathematics. 1971. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-92847-8. ISBN 978-3-540-92847-8.
- ↑ Slemrod, M. (2013). «From Boltzmann to Euler: Hilbert's 6th problem revisited». Comput. Math. Appl. 65 (10): 1497–1501. doi:. .
- ↑ Gorban, A.N.; Karlin, I. (2014). «Hilbert's 6th Problem: exact and approximate hydrodynamic manifolds for kinetic equations». Bull. Amer. Math. Soc. 51 (2): 186–246. doi:.
- ↑ Gorban, A.N. (2018). «Hilbert's sixth problem: the endless road to rigour». Phil. Trans. R. Soc. A 376 (2118): 20170238. doi:. PMID 29555808. Bibcode: 2018RSPTA.37670238G.
- ↑ Wightman, A.S. (1976). «Hilbert's sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII. American Mathematical Society. σελίδες 147–240. ISBN 0-8218-1428-1.
- ↑ Hilbert, D. (1915). «Die Grundlagen der Physik . (Erste Mitteilung.)». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1915: 395–408. https://eudml.org/doc/58946.
- ↑ «The Relativity of Discovery: Hilbert's First Note on the Foundations of Physics».
- ↑ Theme issue «Hilbert's sixth problem». Phil. Trans. R. Soc. A 376 (2118). 2018. doi:.
- ↑ A. Majhi (2022). «Cauchy’s Logico-Linguistic Slip, the Heisenberg Uncertainty Principle and a Semantic Dilemma Concerning “Quantum Gravity”». International Journal of Theoretical Physics 61 (3). doi:.
- ↑ Majhi, A.; Sardar, G. (2023). «Scientific value of the quantum tests of equivalence principle in light of Hilbert’s sixth problem». Pramana - J Phys 97 (1). doi:.
- ↑ A. Majhi (2023). «Unprovability of first Maxwell’s equation in light of EPR’s completeness condition: a computational approach from logico-linguistic perspective». Pramana - J Phys 61 (4). doi:. https://hal.science/hal-03682283v2.
- Sauer, Tilman (1999). «The relativity of discovery: Hilbert's first note on the foundations of physics». Arch. Hist. Exact Sci. 53 (6): 529–575. Bibcode: 1998physics..11050S. .
- Wightman, A.S. (1976). «Hilbert's sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII. American Mathematical Society. σελίδες 147–240. ISBN 0-8218-1428-1.
Πηγές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Benko, D. (2007). «A New Approach to Hilbert's Third Problem». The American Mathematical Monthly 114 (8): 665–676. doi:.
- «What happened with Hilbert's sixth problem (the axiomatization of physics) after Gödel's work?». Physics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 6 Δεκεμβρίου 2024.
- «ON HILBERT'S SIXTH PROBLEM».
