Δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Στα μαθηματικά, το δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ τέθηκε από τον Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1900 ως ένα από τα 23 προβλήματά του. Απαιτεί να αποδειχθεί ότι η αριθμητική είναι συνεπής, δηλαδή απαλλαγμένη από κάθε εσωτερική αντίφαση. Ο Χίλμπερτ δήλωσε ότι τα αξιώματα που εξέτασε για την αριθμητική ήταν αυτά που δίνονται στο Χίλμπερτ (Hilbert (1900)), τα οποία περιλάμβαναν ένα αξίωμα πληρότητας δεύτερης τάξης.

Στη δεκαετία του 1930, ο Κουρτ Γκέντελ και ο Γκέρχαρντ Γκέντζεν κατέληξαν σε αποτελέσματα που έριξαν νέο φως στο πρόβλημα. Ορισμένοι πιστεύουν ότι τα θεωρήματα του Γκέντελ παρέχουν αρνητική λύση στο πρόβλημα, ενώ άλλοι θεωρούν ότι η απόδειξη του Γκέντζεν αποτελεί εν μέρει θετική λύση.

Πρόβλημα του Χίλμπερτ και η ερμηνεία του

Σύμφωνα με το μεταφρασμένο κείμενο ο Χίλμπερτ αναρωτιέται:

«Όταν επιδιώκουμε να θέσουμε τα θεμέλια μιας επιστήμης, πρέπει να δημιουργήσουμε ένα σύστημα αξιωμάτων που να περιέχει μια ακριβή και πλήρη περιγραφή των σχέσεων που υπάρχουν μεταξύ των στοιχειωδών ιδεών αυτής της επιστήμης.... Αλλά από τα πολλά ερωτήματα που μπορεί να θέσει κανείς σχετικά με τα αξιώματα, θα ήθελα να ξεχωρίσω τα ακόλουθα ως τα πιο σημαντικά: Την απόδειξη ότι δεν είναι αντιφατικά, δηλαδή ότι ένας καθορισμένος αριθμός λογικών προσεγγίσεων που βασίζονται σε αυτά δεν μπορεί ποτέ να οδηγήσει σε αντιφατικά αποτελέσματα. Στη γεωμετρία, η απόδειξη ότι τα αξιώματα είναι συμβατά μπορεί να γίνει με την κατασκευή ενός κατάλληλου πεδίου αριθμών, έτσι ώστε οι ανάλογες σχέσεις μεταξύ των αριθμών σε αυτό το πεδίο να αντιστοιχούν στα γεωμετρικά αξιώματα. ... Από την άλλη πλευρά, απαιτείται μια άμεση μέθοδος για την απόδειξη της συμβατότητας των αριθμητικών αξιωμάτων".

Η δήλωση του Χίλμπερτ μερικές φορές παρερμηνεύεται, διότι με τα «αριθμητικά αξιώματα» δεν εννοούσε ένα σύστημα ισοδύναμο με την αριθμητική του Πεάνο, αλλά ένα ισχυρότερο σύστημα με ένα αξίωμα πληρότητας δεύτερης τάξεως. Το σύστημα για το οποίο ο Χίλμπερτ ζητούσε απόδειξη πληρότητας μοιάζει περισσότερο με την αριθμητική δεύτερης τάξεως παρά με την αριθμητική πρώτης τάξεως του Πεάνο.

Ως μια συνηθισμένη σήμερα ερμηνεία, μια θετική λύση στο δεύτερο ερώτημα του Χίλμπερτ θα παρείχε ειδικότερα μια απόδειξη ότι η αριθμητική του Πεάνο είναι συνεπής.

Υπάρχουν πολλές γνωστές αποδείξεις ότι η αριθμητική Πεάνο είναι συνεπής, οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν σε ισχυρά συστήματα όπως η θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ. Ωστόσο, αυτές οι αποδείξεις δεν παρέχουν λύση στο δεύτερο ερώτημα του Χίλμπερτ, επειδή κάποιος που αμφιβάλλει για τη συνέπεια της αριθμητικής Πεάνο είναι απίθανο να δεχτεί τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων (τα οποία είναι πολύ ισχυρότερα) για να αποδείξει τη συνέπειά της. Επομένως, μια ικανοποιητική απάντηση στο πρόβλημα του Χίλμπερτ πρέπει να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας αρχές που θα ήταν αποδεκτές από κάποιον που δεν πιστεύει ήδη ότι η PA είναι συνεπής. Τέτοιες αρχές ονομάζονται συχνά περατοκρατικές επειδή είναι εντελώς εποικοδομητικές και δεν προϋποθέτουν ένα ολοκληρωμένο άπειρο (completed infinity) φυσικών αριθμών. Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ (βλ. Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ) θέτει ένα αυστηρό όριο στο πόσο αδύναμο μπορεί να είναι ένα περατοκρατικό σύστημα ενώ εξακολουθεί να αποδεικνύει τη συνέπεια της αριθμητικής του Πεάνο.

Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ

Κύριο άρθρο: Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ

Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δείχνει ότι δεν είναι δυνατόν οποιαδήποτε απόδειξη ότι η αριθμητική Πεάνο είναι συνεπής να πραγματοποιηθεί μέσα στην ίδια την αριθμητική Πεάνο. Αυτό το θεώρημα δείχνει ότι αν οι μόνες αποδεκτές διαδικασίες απόδειξης είναι αυτές που μπορούν να τυποποιηθούν εντός της αριθμητικής, τότε το αίτημα του Χίλμπερτ για μια απόδειξη συνέπειας δεν μπορεί να απαντηθεί. Ωστόσο, όπως εξηγούν οι Ναγκελ & Νιούμαν (1958), υπάρχει ακόμα χώρος για μια απόδειξη που δεν μπορεί να τυποποιηθεί στην αριθμητική:

«Αυτό το επιβλητικό αποτέλεσμα της ανάλυσης του Γκόντελ δεν πρέπει να παρεξηγηθεί: δεν αποκλείει μια μετα-μαθηματική απόδειξη της συνέπειας της αριθμητικής. Αυτό που αποκλείει είναι μια απόδειξη της συνέπειας που μπορεί να αντικατοπτρίζεται από τις τυπικές συνεπαγωγές της αριθμητικής. Μετα-μαθηματικές αποδείξεις της συνέπειας της αριθμητικής έχουν πράγματι κατασκευαστεί, κυρίως από τον Γκέρχαρντ Γκέντζεν, μέλος της σχολής Χίλμπερτ, το 1936, και από άλλους έκτοτε. ... Αλλά αυτές οι μετα-μαθηματικές αποδείξεις δεν μπορούν να αναπαρασταθούν μέσα στον αριθμητικό λογισμό- και, εφόσον δεν είναι περατοκρατικές, δεν επιτυγχάνουν τους διακηρυγμένους στόχους του αρχικού προγράμματος του Χίλμπερτ. ... Η δυνατότητα κατασκευής μιας περατοκρατικής απόλυτης απόδειξης συνέπειας για την αριθμητική δεν αποκλείεται από τα αποτελέσματα του Γκέντελ. Ο Γκέντελ έδειξε ότι δεν είναι δυνατή καμία τέτοια απόδειξη που να μπορεί να αναπαρασταθεί στο πλαίσιο της αριθμητικής. Το επιχείρημά του δεν αποκλείει τη δυνατότητα αυστηρά περατοκρατικών αποδείξεων που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν στην αριθμητική. Αλλά κανείς σήμερα δεν φαίνεται να έχει μια σαφή ιδέα για το πώς θα ήταν μια περατοκρατική απόδειξη που δεν μπορεί να διατυπωθεί μέσα στην αριθμητική."

Απόδειξη συνέπειας του Γκέντζεν

Το 1936, ο Γκέντζεν δημοσίευσε μια απόδειξη ότι η αριθμητική Πεάνο είναι συνεπής. Το αποτέλεσμα του Γκέντζεν δείχνει ότι μια απόδειξη συνέπειας μπορεί να επιτευχθεί σε ένα σύστημα που είναι πολύ πιο αδύναμο από τη θεωρία συνόλων.

Η απόδειξη του Γκέντζεν συνίσταται στην απόδοση σε κάθε απόδειξη της αριθμητικής Πεάνο ενός διατακτικού αριθμού, με βάση τη δομή της απόδειξης, καθένας από αυτούς τους διατακτικούς αριθμούς είναι μικρότερος από ε₀.. Στη συνέχεια αποδεικνύει με διαφθίνουσα επαγωγή σε αυτούς τους αριθμητικούς αριθμούς ότι καμία απόδειξη δεν μπορεί να καταλήξει σε αντίφαση. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται σε αυτή την απόδειξη μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη ενός αποτελέσματος εξάλειψης αποκοπής για την αριθμητική Πεάνο σε μια λογική ισχυρότερη από τη λογική πρώτης τάξης, αλλά η ίδια η απόδειξη συνέπειας μπορεί να πραγματοποιηθεί σε συνηθισμένη λογική πρώτης τάξης χρησιμοποιώντας τα αξιώματα της πρωταρχικής αναδρομικής αριθμητικής και μια αρχή της διαπεραστικής επαγωγής. Ο Τάιτ (2005) δίνει μια παιγνιοθεωρητική ερμηνεία της μεθόδου του Γκέντζεν.

Η απόδειξη συνέπειας του Γκέντζεν εγκαινίασε το πρόγραμμα της διατακτικής ανάλυσης στη θεωρία αποδείξεων. Σε αυτό το πρόγραμμα, στις τυπικές θεωρίες της αριθμητικής ή της θεωρίας συνόλων αποδίδονται διατακτικοί αριθμοί που μετρούν την ισχύ συνέπειας των θεωριών. Μια θεωρία δεν θα είναι σε θέση να αποδείξει τη συνέπεια μιας άλλης θεωρίας με υψηλότερο ταξινομητή αποδεικτικής θεωρίας.

Σύγχρονες απόψεις για την εξέλιξη του προβλήματος

Ενώ τα θεωρήματα των Γκέντελ και Γκέντζεν είναι πλέον καλά κατανοητά από την κοινότητα της μαθηματικής λογικής, δεν υπάρχει συναίνεση σχετικά με το αν (ή με ποιον τρόπο) τα θεωρήματα αυτά απαντούν στο δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ. Ο Σίμπσον ( Simpson (1988)) υποστηρίζει ότι το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ δείχνει ότι δεν είναι δυνατόν να παραχθούν περατοκρατικές αποδείξεις συνέπειας ισχυρών θεωριών. Ο Κρέιζελ (Kreisel (1976)) αναφέρει ότι παρόλο που τα αποτελέσματα του Γκέντελ υπονοούν ότι δεν μπορεί να προκύψει περατοκρατική συντακτική απόδειξη συνέπειας, σημασιολογικά επιχειρήματα (ιδίως δεύτερης τάξης) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δοθούν πειστικές αποδείξεις συνέπειας. Ο Ντέτλεφσεν (1990) υποστηρίζει ότι το θεώρημα του Γκέντελ δεν εμποδίζει μια απόδειξη συνέπειας επειδή οι υποθέσεις του μπορεί να μην ισχύουν σε όλα τα συστήματα στα οποία θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί μια απόδειξη συνέπειας. ο Ντόσον (Dawson (2006)) χαρακτηρίζει «λανθασμένη» την πεποίθηση ότι το θεώρημα του Γκέντελ εξαλείφει τη δυνατότητα μιας πειστικής απόδειξης συνέπειας, αναφέροντας την απόδειξη συνέπειας που δόθηκε από τον Γκέντζεν και μια μεταγενέστερη που δόθηκε από τον Γκέντελ το 1958.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ
• Προσεταιριστική ιδιότητα
• Τακτικοί αριθμοί
• Κουρτ Γκέντελ
• Τζον φον Νόιμαν
• Τοπολογική πολλαπλότητα
• Μεταμαθηματικά
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Θεωρία συνόλων
• Μαθηματική λογική

Βιβλιογραφία

• Tao, Terence (18 Ιουλίου 2014). Hilbert's Fifth Problem and Related Topics. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1564-8. 
• James, I. M. (24 Αυγούστου 1999). History of Topology. Elsevier. ISBN 978-0-08-053407-7. 
• Menzler-Trott, Eckart (5 Μαΐου 2016). Logic's Lost Genius. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2812-9. 
• Sieg, Wilfried (7 Μαρτίου 2013). Hilbert's Programs and Beyond. OUP USA. ISBN 978-0-19-537222-9. 
• Stillwell, John (24 Σεπτεμβρίου 2019). Reverse Mathematics: Proofs from the Inside Out. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-19641-1. 
• Boyer, Carl B.· Merzbach, Uta C. (11 Ιανουαρίου 2011). A History of Mathematics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-52548-7. 
• ODougherty, Dr Patrick (5 Μαρτίου 2018). Personalism and Mathematics as Women's Personifestoes. Lulu.com. ISBN 978-1-387-64179-6. 

Παραπομπές

• Dawson, John W. (2006). «2006 21st Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science». IEEE, pp. 339–341. doi:10.1109/LICS.2006.47. ISBN 0-7695-2631-4. 
• Detlefsen, Michael (1990). «On an alleged refutation of Hilbert's Program using Gödel's First Incompleteness Theorem». Journal of Philosophical Logic (Springer) 19 (4): 343–377. doi:10.1007/BF00263316. 
• Franzen, Torkel (2005). Godel's theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. Wellesley MA: A.K. Peters. ISBN 1-56881-238-8. 
• Gentzen, Gerhard (1936). «Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie». Mathematische Annalen (Springer) 112: 493–565. doi:10.1007/BF01565428. 
• Gödel, Kurt (1931). «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I». Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98. doi:10.1007/BF01700692. http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/. 
• Hilbert, David (1900). «Über den Zahlbegriff». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 8: 180–184. http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN37721857X. 
•     (1901). «Mathematische Probleme». Archiv der Mathematik und Physik 3 (1): 44–63, 213–237. 
• Kreisel, George (1976). «What have we learnt from Hilbert's second problem?». Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., pp. 93–130. ISBN 0-8218-1428-1. 
• «Mathematical Problems». Bulletin of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 8: 437–479. 1902. https://www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/S0002-9904-1902-00923-3/S0002-9904-1902-00923-3.pdf. 
• Nagel, Ernest· (1958). Godel's Proof. New York University Press. 
• ———· ——— (2001). Hofstadter, Douglas R., επιμ. Godel's Proof. New York University Press. ISBN 9780814758014. 
• Simpson, Stephen G. (1988). «Partial realizations of Hilbert's Program». Journal of Symbolic Logic 53 (2): 349–363. doi:10.2307/2274508. ISSN 0022-4812. 
• Tait, William W. (2005). «Gödel's reformulation of Gentzen's first consistency proof of arithmetic: the no-counterexample interpretation». Bulletin of Symbolic Logic 11 (2): 225–238. 
• van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Gödel: A Source Book on Mathematical Logic. Harvard University Press. σελίδες 596–616. .

Πηγές

• Πρωτότυπο κείμενο της παρουσίασης τoυ Χίλμπερτ, στα γερμανικά
• English translation of Hilbert's 1900 address
• Hilbert’s Second Problem: Foundations of Arithmetic