Ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν

Η ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν είναι μια άπειρη ακολουθία διαφορετικών πρώτων αριθμών, στην οποία κάθε στοιχείο είναι ο μικρότερος πρώτος παράγοντας του ενός συν το γινόμενο όλων των προηγούμενων στοιχείων. Πήραν το όνομά τους από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη, επειδή ο ορισμός τους βασίζεται σε μια ιδέα της απόδειξης του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, και από τον Άλμπερτ Α. Μάλεν, ο οποίος διερωτήθηκε για την ακολουθία το 1963.

Τα 51 πρώτα στοιχεία της ακολουθίας είναι

2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139703, 457, 9649, 61, 4357, 87991098722552272708281251793312351581099392851768893748012603709343, 107, 127, 3313, 227432689108589532754984915075774848386671439568260420754414940780761245893, 59, 31, 211... (ακολουθία A000945 στην OEIS)

Αυτά είναι τα μόνα γνωστά στοιχεία. Η εύρεση του επόμενου απαιτεί την εύρεση του μικρότερου πρώτου παράγοντα ενός 335ψήφιου αριθμού (ο οποίος είναι γνωστό ότι είναι σύνθετος).

Ορισμός

Το $n$-th στοιχείο της ακολουθίας, $a_{n}$, είναι ο μικρότερος πρώτος παράγοντας του

${\Bigl (}\prod _{i<n}a_{i}{\Bigr )}+1\,.$

Το πρώτο στοιχείο είναι επομένως ο μικρότερος πρώτος παράγοντας του "άδειου" γινόμενου (empty product) συν ένα, που είναι 2. Το τρίτο στοιχείο είναι (2 × 3) + 1 = 7. Μια καλύτερη απεικόνιση είναι το πέμπτο στοιχείο της ακολουθίας, το 13. Αυτό υπολογίζεται από το (2 × 3 × 7 × 43) + 1 = 1806 + 1 = 1807, το γινόμενο δύο πρώτων αριθμών, 13 × 139. Από αυτούς τους δύο πρώτους αριθμούς, ο 13 είναι ο μικρότερος και έτσι περιλαμβάνεται στην ακολουθία. Ομοίως, το έβδομο στοιχείο, το 5, είναι το αποτέλεσμα του (2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53) + 1 = 1244335, οι πρώτοι παράγοντες του οποίου είναι το 5 και το 248867. Τα παραδείγματα αυτά δείχνουν γιατί η ακολουθία μπορεί να μεταπηδήσει από πολύ μεγάλους σε πολύ μικρούς αριθμούς.

Ιδιότητες

Η ακολουθία είναι απείρως μεγάλη και δεν περιέχει επαναλαμβανόμενα στοιχεία. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με τη μέθοδο της απόδειξης του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Αυτή η απόδειξη είναι εποικοδομητική και η ακολουθία είναι το αποτέλεσμα της εκτέλεσης μιας εκδοχής αυτής της κατασκευής.

Εικασία

Ο Μάλεν (Mullin (1963)) ρώτησε αν κάθε πρώτος αριθμός εμφανίζεται στην ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν και, αν όχι, αν το πρόβλημα του ελέγχου ενός συγκεκριμένου πρώτου αριθμού για την ένταξή του στην ακολουθία είναι υπολογίσιμο. Ο Ντανιέλ Σανκς (Daniel Shanks (1991)) υπέθεσε, με βάση ευρετικές υποθέσεις ότι η κατανομή των πρώτων αριθμών είναι τυχαία, ότι κάθε πρώτος αριθμός εμφανίζεται στην ακολουθία. Ωστόσο, παρόλο που παρόμοιες αναδρομικές ακολουθίες σε άλλους τομείς δεν περιέχουν όλους τους πρώτους αριθμούς, και τα δύο αυτά προβλήματα παραμένουν ανοικτά για την αρχική ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν. Ο μικρότερος πρώτος αριθμός που δεν είναι γνωστό ότι είναι στοιχείο της ακολουθίας είναι ο 41.

Οι θέσεις των πρώτων αριθμών από το 2 έως το 97 είναι:

2:1, 3:2, 5:7, 7:3, 11:12, 13:5, 17:13, 19:36, 23:25, 29:33, 31:50, 37:18, 41:?, 43:4, 47:?, 53:6, 59:49, 61:42, 67:?, 71:22, 73:?, 79:?, 83:?, 89:35, 97:26 (ακολουθία A056756 στην OEIS)

όπου το ? δηλώνει ότι η θέση (ή αν υπάρχει καθόλου) είναι άγνωστη από το 2012.

Σχετικές ακολουθίες

Μια σχετική ακολουθία αριθμών που καθορίζεται από τον μεγαλύτερο πρώτο παράγοντα του ενός συν το γινόμενο των προηγούμενων αριθμών (αντί του μικρότερου πρώτου παράγοντα) είναι επίσης γνωστή ως ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν. Αυξάνεται ταχύτερα, αλλά δεν είναι μονοτονική. Οι αριθμοί αυτής της ακολουθίας είναι

2, 3, 7, 43, 139, 50207, 340999, 2365347734339, 4680225641471129, 1368845206580129, 889340324577880670089824574922371, ... (ακολουθία A000946 στην OEIS).

Δεν εμφανίζεται κάθε πρώτος αριθμός σε αυτή την ακολουθία, και η ακολουθία των πρώτων αριθμών που λείπουν,

5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, ... (ακολουθία A216227 στην OEIS)

έχει αποδειχθεί ότι είναι άπειρη.

Είναι επίσης δυνατό να δημιουργηθούν τροποποιημένες εκδοχές της ακολουθίας Ευκλείδη-Μάλεν χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα επιλογής του μικρότερου πρώτου παράγοντα σε κάθε βήμα, αλλά ξεκινώντας με έναν διαφορετικό πρώτο παράγοντα από το 2.

Εναλλακτικά, αν θεωρήσουμε ότι κάθε αριθμός είναι ένα συν το γινόμενο των προηγούμενων αριθμών (αντί να τον παραγοντοποιήσουμε), προκύπτει η ακολουθία του Συλβέστερ. Η ακολουθία που κατασκευάζεται με την επανειλημμένη προσθήκη όλων των παραγόντων του ένα συν το γινόμενο των προηγούμενων αριθμών είναι η ίδια με την ακολουθία των πρώτων παραγόντων της ακολουθίας του Συλβέστερ. Όπως και η ακολουθία Ευκλείδη-Μάλεν, αυτή είναι μια μη μονοτονική ακολουθία πρώτων αριθμών, αλλά είναι γνωστό ότι δεν περιλαμβάνει όλους τους πρώτους αριθμούς.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Εικασία του Λεζάντρ
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Chow, Bennett (9 Φεβρουαρίου 2023). Introduction to Proof Through Number Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7027-2. 
• Sheppard, Barnaby (24 Ιουλίου 2014). The Logic of Infinity. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-05831-6. 
• Miller, Steven J. (20 Δεκεμβρίου 2017). Mathematics of Optimization: How to do Things Faster. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-4114-2. 
• Murty, M. Ram· Fodden, Brandon (9 Μαΐου 2019). Hilbert’s Tenth Problem: An Introduction to Logic, Number Theory, and Computability. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-4399-3. 
• Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3. 
• Cooper, S. Barry· Hodges, Andrew (24 Μαρτίου 2016). The Once and Future Turing: Computing the World. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-58917-5. 
• O'Shea, Owen (15 Ιουνίου 2023). The Call of Coincidence: Mathematical Gems, Peculiar Patterns, and More Stories of Numerical Serendipity. Rowman & Littlefield. ISBN 978-1-63388-927-9. 
• Coman, Marius (6 Σεπτεμβρίου 2013). Enciclopedia Matematică a Claselor de Numere Întregi. Infinite Study. ISBN 978-1-59973-237-4. 
• Chow, Bennett (9 Φεβρουαρίου 2023). Introduction to Proof Through Number Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7027-2. 
• Ribenboim, Paulo (6 Δεκεμβρίου 2012). The Book of Prime Number Records. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4684-9938-4. 
• Lozano-Robledo, Álvaro (21 Μαρτίου 2019). Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8. 

Παραπομπές

• Research Problem 8: Recursive function theory (A modern look at a Euclidean idea), Bull. Amer. Math. Soc., 69 (1963), 737.
• Review: M. D. Mesarovic and Y. Takahara, General systems theory: Mathematical foundations, Bull. Amer. Math. Soc., 81 (1975), 1047–1044.
• On new theorems for elementary number theory, Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. 8, Issue 4 1967, 353–356.
• A note on a weakened Goldbach-like conjecture, Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. 3, Issue 2 1962, 118–119.
• Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405).
• John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144).
• Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0