Αριθμός του Φορτυνἐ

Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά: Υπάρχουν σύνθετοι αριθμοί του Φορτυνέ (εικασία του Φορτυνέ).

Στη θεωρία αριθμών, ένας αριθμός του Φορτυνέ, που οφείλει το όνομά του στον Ρέο Φορτυνέ, είναι ο μικρότερος ακέραιος m > 1 τέτοιος ώστε, για δεδομένο θετικό ακέραιο n, p_n# + m να είναι πρώτος αριθμός, όπου ο πρώτος p_n# είναι το γινόμενο των πρώτων n πρώτων αριθμών.

Παραδείγματος χάριν, για να βρούμε τον έβδομο αριθμό Φορτυνέ, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το γινόμενο των επτά πρώτων πρώτων αριθμών (2, 3, 5, 7, 11, 13 και 17), το οποίο είναι 510510. Προσθέτοντας το 2 σε αυτό δίνει έναν άλλο άρτιο αριθμό, ενώ προσθέτοντας το 3 θα έδινε ένα άλλο πολλαπλάσιο του 3. Ομοίως θα απέκλειε κανείς τους ακέραιους αριθμούς μέχρι το 18. Η πρόσθεση του 19, ωστόσο, δίνει 510529, ο οποίος είναι πρώτος. Επομένως, το 19 είναι ένας αριθμός Φορτυνέ. Ο αριθμός Φορτυνέ για p_n# είναι πάντα πάνω από το p_n και όλοι οι διαιρέτες του είναι μεγαλύτεροι από το p_n. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι p_n#, και ως εκ τούτου p_n# + m, διαιρείται με τους πρώτους παράγοντες του m που δεν είναι μεγαλύτεροι από το p_n. Αν υπάρχει σύνθετος αριθμός Φορτυνέ, πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με p_n+1².

$f_{n}=\min {\Bigl \{}m>1\;{\Big |}\,\prod _{i=1}^{n}p_{i}+m\in \mathbb {P} {\Bigr \}}$.

Οι αριθμοί Φορτυνέ για τους πρώτους πρωταρχικούς έχουν ως εξής:

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, κτλ. (ακολουθία A005235 στην OEIS).

Οι Αριθμοί Φορτυνέ ταξινομημένοι σε αριθμητική σειρά με αφαίρεση των αντιγράφων:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, ... (ακολουθία A046066 στην OEIS).

Ο Φορτυνέ υπέθεσε ότι κανένας αριθμός Φορτυνέ δεν είναι σύνθετος (η εικασία του Φορτυνέ). Ένας πρώτος αριθμός Φορτυνέ είναι ένας αριθμός Φορτυνέ που είναι επίσης πρώτος αριθμός. Από το 2017, όλοι οι γνωστοί αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι, ελεγχόμενοι μέχρι n=3000.

Παράδειγμα

Υπολογισμός του 8. Αριθμός Φορτυνέ $f_{8}$:
Το γινόμενο των πρώτων 8 πρώτων αριθμών είναι $P_{8}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19=9699690$. Ο επόμενος πρώτος αριθμός μεγαλύτερος κατά τουλάχιστον 2 είναι $p=9699713$. Αυτός ο πρώτος αριθμός είναι $p-P_{8}=9699713-9699690=23$ μεγαλύτερος από το γινόμενο των πρώτων αριθμών $P_{8}$. Επομένως είναι$f_{8}=23$.

Μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ

Με τον ίδιο τρόπο, ο Πολ Κάρπεντερ ορίζει επίσης τους μικρότερους αριθμούς Φορτυνέ (ή τους λιγότερους μικρούς αριθμούς) ως εξής

$l_{n}=\min {\Bigl \{}m>1\;{\Big |}\,\prod _{i=1}^{n}p_{i}-m\in \mathbb {P} {\Bigr \}}$.

Επομένως, ορίζονται ως η διαφορά μεταξύ του $P_{n}$ (= γινόμενο των πρώτων $n$ πρώτων αριθμών) και του μεγαλύτερου πρώτου αριθμού που είναι τουλάχιστον 2 μικρότερος από τον $P_{n}$. Δεν είναι επίσης γνωστό για τους αριθμούς αυτούς αν είναι όλοι πρώτοι.

Παραδείγματα

• Ο μικρότερος αριθμός Φορτυνέ $l_{1}$ δεν ορίζεται επειδή $P_{1}=2$ και επομένως δεν υπάρχει πρώτος αριθμός που να είναι τουλάχιστον κατά 2 μικρότερος από τον $P_{1}$.

Το γινόμενο των πρώτων 9 πρώτων αριθμών είναι $P_{9}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23=223092870$. Ο επόμενος μικρότερος πρώτος αριθμός είναι ο $p=223092827$. Το γινόμενο του πρώτου αριθμού είναι $P_{9}-p=223092870-223092827=43$ μεγαλύτερο από τον πρώτο αριθμό $p$. Επομένως, $l_{9}=43$.

• Οι πρώτοι 50 είναι μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ (όπου πρέπει να ξεκινήσετε με $l_{2}=3,l_{3}=7,\ldots$):

3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, 59, 47, 89, 67, 73, 107, 89, 101, 127, 97, 83, 89, 97, 251, 131, 113, 151, 263, 251, 223, 179, 389, 281, 151, 197, 173, 239, 233, 191, 223, 223, 293, 593, 293, 457, 227, 311, 373, 257, ... ((ακολουθία A055211 στην OEIS)))

• Η ακολουθία των μικρότερων αριθμών Φορτυνέ είναι ταξινομημένη και χωρίς επαναλήψεις:

3, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 41, 43, 47, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 113, 127, 131, 151, 173, 179, 191, 197, 223, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 281, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 347, 367, 373, 379, 389, 431, 433, 439, 443, 449, …

Ιδιότητα

• Οι πρώτοι 1000 μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι αριθμοί.

Εικασία

• Θεωρείται ότι όλοι οι μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι αριθμοί.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Εικασία του Λεζάντρ
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Agarwal, Ravi P. (2024). Mathematics Before and After Pythagoras: Exploring the Foundations and Evolution of Mathematical Thought. Springer Nature. ISBN 978-3-031-74224-8. 
• Wells, David (13 Ιανουαρίου 2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. Turner Publishing Company. ISBN 978-1-118-04571-8. 
• Tattersall, James J. (14 Οκτωβρίου 1999). Elementary Number Theory in Nine Chapters. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58531-6. 
• Lines, M. E. (18 Αυγούστου 2020). A Number for your Thoughts: Facts and Speculations About Numbers from Euclid to the Latest Computers. CRC Press. ISBN 978-1-000-11115-6. 
• Looijen, Maarten (1 Ιανουαρίου 2016). Over getallen gesproken - Talking about numbers. Van Haren. ISBN 978-94-018-0469-1. 
• The London Chronicle. J. Wilkie. 1811. 
• Martin, Carla D.· Tongen, Anthony (31 Δεκεμβρίου 2011). Keeping It R.E.A.L.: Research Experiences for All Learners. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-88385-961-2. 
• Wilkinson, Endymion Porter (2000). Chinese History: A Manual. Harvard Univ Asia Center. ISBN 978-0-674-00249-4. 
• The Official Railway Equipment Register. Railway Equipment and Publication Company. 1897. 
• Galignani's Messenger: The Spirit of the English Journals. 1822,1. Brière. 1822. 
• Dobson, John F.· Vignale, Giovanni (11 Νοεμβρίου 2013). Electronic Density Functional Theory: Recent Progress and New Directions. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4899-0316-7. 

Παραπομπές

• Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Vol. I: Divisibility and Primality. Chelsea Publishing Company, New York 1966 (MR0245499 – Reprint des Originals der Carnegie Institution of Washington, Washington, D.C., 1919).
• Gábor Farkas, Zsófia Juhász: A generalization of Goldbach's conjecture. In: Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae. Sectio Computatorica. Band 46, 2017, S. 39–53 (MR3722662).
• Richard Kenneth Guy: Unsolved Problems in Number Theory (= Problem Books in Mathematics). 3. Auflage. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-1928-1, doi:10.1007/978-0-387-26677-0 (MR2076335).
• Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405).
• John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144).
• Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0