Εικασία του Καταλάν

Η εικασία του Καταλάν (ή το θεώρημα του Μιχαϊλέσκου) είναι ένα θεώρημα στη θεωρία των αριθμών που εικάστηκε από τον μαθηματικό Εζέν Σαρλ Καταλάν το 1844 και αποδείχθηκε το 2002 από την Πρέντα Μιχαϊλέσκου στο Πανεπιστήμιο του Πάντερμπορν.^[1]^[2] Οι ακέραιοι 2³ και 3² είναι δύο τέλειες δυνάμεις (δηλαδή δυνάμεις εκθέτη μεγαλύτερου του ενός) φυσικών αριθμών των οποίων οι τιμές (8 και 9, αντίστοιχα) είναι διαδοχικές. Το θεώρημα δηλώνει ότι αυτή είναι η μοναδική περίπτωση δύο διαδοχικών τέλειων δυνάμεων. Δηλαδή, ότι

Η εικασία του Καταλάν - η μόνη λύση στους φυσικούς αριθμούς του 
  $x^{a}-y^{b}=1$ 
για  $a, b > 1$ ,  $x, y > 0$  is  $x = 3$ ,  $a = 2$ ,  $y = 2$ ,  $b = 3$ .}}

Ιστορία

Η ιστορία του προβλήματος χρονολογείται τουλάχιστον από τον Γκερσονίδη, ο οποίος απέδειξε μια ειδική περίπτωση της εικασίας το 1343, όπου (x, y) περιορίστηκε να είναι (2, 3) ή (3, 2). Η πρώτη σημαντική πρόοδος μετά την εικασία του Καταλάν, ήρθε το 1850, όταν ο Βικτόρ-Αμεντί Λεμπεσγκ ασχολήθηκε με την περίπτωση b = 2.^[3]

Το 1976, ο Ρόμπερτ Τίζντεμαν εφάρμοσε τη μέθοδο του Μπέικερ στη θεωρία της υπερβατικότητας για να καθορίσει ένα φράγμα για τα a, b και χρησιμοποίησε τα υπάρχοντα αποτελέσματα που οριοθετούσαν τα x, y ως προς τα a, b για να δώσει ένα αποτελεσματικό άνω φράγμα για τα x, y, a, b. Ο Μισέλ Λανγκεβέν υπολόγισε μια τιμή $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$ για το όριο,^[4] επιλύοντας την εικασία του Καταλάν για όλες τις περιπτώσεις εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων.

Η εικασία του Καταλάν αποδείχθηκε από τον Πρέντα Μιχαηλέσκου τον Απρίλιο του 2002. Η απόδειξη δημοσιεύθηκε στο Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Κάνει εκτεταμένη χρήση της θεωρίας των κυκλοτομικών σωμάτων και των modules Γαλουά. Μια έκθεση της απόδειξης δόθηκε από τον Γιούρι Μπίλου στο Σεμινάριο Μπουρμπακί.^[5] Το 2005, ο Μιχαϊλέσκου δημοσίευσε μια απλουστευμένη απόδειξη^[6].

Εικασία του Πιλάι

Η εικασία του Πιλάι αφορά μια γενική διαφορά των τέλειων δυνάμεων (ακολουθία A001597 στην OEIS): πρόκειται για ένα ανοιχτό πρόβλημα που αρχικά προτάθηκε από τον Πιλάι (Pillai]), ο οποίος υπέθεσε ότι τα κενά στην ακολουθία των τέλειων δυνάμεων τείνουν στο άπειρο. Αυτό είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός εμφανίζεται μόνο πεπερασμένες φορές ως διαφορά τέλειων δυνάμεων: Γενικότερα, το 1931 ο Πιλάι υπέθεσε ότι για σταθερούς θετικούς ακέραιους A, B, C η εξίσωση $Ax^{n}-By^{m}=C$ έχει μόνο πεπερασμένα πολλές λύσεις (x,&nbsp, y, m, n) με (m, n) ≠ (2, 2). Ο Πιλάι απέδειξε ότι για σταθερά A, B, x, y, και για κάθε λ μικρότερο του 1, έχουμε $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ ομοιόμορφα στο m και n.^[7]

Η γενική εικασία προκύπτει από την εικασία ABC.^[7]^[8]

Η εικασία του Πιλάι υποδηλώνει ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ζεύγη τέλειων δυνάμεων με διαφορά n. Ο παρακάτω κατάλογος δείχνει, για n ≤ 64, όλες τις λύσεις για τέλειες δυνάμεις μικρότερες από 10¹⁸, τέτοιες ώστε ο εκθέτης και των δύο δυνάμεων να είναι μεγαλύτερος από 1. Ο αριθμός τέτοιων λύσεων για κάθε n παρατίθεται στη διεύθυνση (ακολουθία A076427 στην OEIS). Δείτε επίσης (ακολουθία A103953 στην OEIS) για τη μικρότερη λύση (> 0).

n	λύση μέτρηση	Αριθμοί k τέτοιοι ώστε k και k + n να είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις	n	λύση μέτρηση	Αριθμοί k τέτοιοι ώστε k και k + n να είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις
1	1	8	33	2	16, 256
2	1	25	34	0	none
3	2	1, 125	35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121	36	2	64, 1728
5	2	4, 27	37	3	27, 324, 14348907
6	0	none	38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32761	39	4	25, 361, 961, 10609
8	3	1, 8, 97336	40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64000	41	3	8, 128, 400
10	1	2187	42	0	none
11	4	16, 25, 3125, 3364	43	1	441
12	2	4, 2197	44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900	45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	none	46	1	243
15	3	1, 49, 1295029	47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	3	9, 16, 128	48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	49	3	32, 576, 274576
18	3	9, 225, 343	50	0	none
19	5	8, 81, 125, 324, 503284356	51	2	49, 625
20	2	16, 196	52	1	144
21	2	4, 100	53	2	676, 24336
22	2	27, 2187	54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025	55	3	9, 729, 175561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542939080312	56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144	57	3	64, 343, 784
26	3	1, 42849, 6436343	58	0	none
27	3	9, 169, 216	59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	60	4	4, 196, 2515396, 2535525316
29	1	196	61	2	64, 900
30	1	6859	62	0	none
31	2	1, 225	63	4	1, 81, 961, 183250369
32	4	4, 32, 49, 7744	64	4	36, 64, 225, 512

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Schoof, René (8 Ιουλίου 2010). Catalan's Conjecture. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84800-185-5.
Laptev, Ari (2005). European Congress of Mathematics: Stockholm, June 27-July 2, 2004. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-009-8.
Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3.
Bollobás, Béla (30 Ιουνίου 2022). The Art of Mathematics – Take Two: Tea Time in Cambridge. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-83327-1.
Chaubey, Nirbhay (2024). Computing Science, Communication and Security. Springer Nature. ISBN 978-3-031-75170-7.
Mollin, Richard A. (10 Σεπτεμβρίου 1997). Fundamental Number Theory with Applications. CRC Press. ISBN 978-0-8493-3987-5.
Cai, Tianxin (21 Ιουλίου 2021). A Modern Introduction To Classical Number Theory. World Scientific. ISBN 978-981-12-1831-6.
Ribenboim, Paulo (10 Μαΐου 2006). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22754-2.
Smart, Nigel P. (12 Νοεμβρίου 1998). The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations: A Computational Cookbook. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64633-8.
Mollin, Richard A. (27 Απριλίου 2018). Quadratics. CRC Press. ISBN 978-1-351-42077-8.
Nathanson, Melvyn B. (12 Αυγούστου 2021). Combinatorial and Additive Number Theory IV: CANT, New York, USA, 2019 and 2020. Springer Nature. ISBN 978-3-030-67996-5.

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W., Catalan's conjecture, MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
↑ Mihăilescu 2004
↑ Victor-Amédée Lebesgue (1850), «Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m=y²+1», Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série 9: 178–181
↑ Ribenboim, Paulo (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, σελ. 236, ISBN 0-387-90432-8,
Zbl 0456.10006
↑ Bilu, Yuri (2004), «Catalan's conjecture», Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923, Astérisque, 294, σελ. 1–26, http://www.numdam.org/book-part/SB_2002-2003__45__1_0/
↑ Mihăilescu 2005
↑ ^7,0 ^7,1 Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, σελ. 253–254, ISBN 978-0-857-29531-6, https://archive.org/details/rationalnumberth00nark
↑ Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 207, ISBN 3-540-54058-X,
Zbl 0754.11020

Bilu, Yuri (2004), «Catalan's conjecture (after Mihăilescu)», Astérisque 294: vii, 1–26
Catalan, Eugene (1844), «Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur», J. Reine Angew. Math. 27: 192, doi:10.1515/crll.1844.27.192, https://zenodo.org/record/1448842
Cohen, Henri (2005). «Démonstration de la conjecture de Catalan» (στα γαλλικά). Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes. Palaiseau: Éditions de l'École Polytechnique, pp. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0.
Metsänkylä, Tauno (2004), «Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved», Bulletin of the American Mathematical Society 41 (1): 43–57, doi:10.1090/S0273-0979-03-00993-5, https://www.ams.org/journals/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf
Mihăilescu, Preda (2004), «Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture», J. Reine Angew. Math. 2004 (572): 167–195, doi:10.1515/crll.2004.048
Mihăilescu, Preda (2005), «Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture», European Congress of Mathematics (Zurich: Eur. Math. Soc.): 325–340, https://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf
Ribenboim, Paulo (1994), Catalan's Conjecture, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8 Predates Mihăilescu's proof.
Tijdeman, Robert (1976), «On the equation of Catalan», Acta Arith. 29 (2): 197–209, doi:10.4064/aa-29-2-197-209, https://www.impan.pl/shop/publication/transaction/download/product/100989?download.pdf
Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046.

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[1] Weisstein, Eric W., Catalan's conjecture, MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html

[2] Mihăilescu 2004

[3] Victor-Amédée Lebesgue (1850), «Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m=y²+1», Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série 9: 178–181

[4] Ribenboim, Paulo (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, σελ. 236, ISBN 0-387-90432-8,
Zbl 0456.10006

[5] Bilu, Yuri (2004), «Catalan's conjecture», Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923, Astérisque, 294, σελ. 1–26, http://www.numdam.org/book-part/SB_2002-2003__45__1_0/

[6] Mihăilescu 2005

[rnt-7] 7,0 ^7,1 Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, σελ. 253–254, ISBN 978-0-857-29531-6, https://archive.org/details/rationalnumberth00nark

[8] Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 207, ISBN 3-540-54058-X,
Zbl 0754.11020

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]