Τρίγωνο με πλευρές
και κορυφές
.
Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι τύποι Mollweide σε ένα τρίγωνο
με πλευρές
και κορυφές
, είναι οι εξής σχέσεις[1][2][3]
,
και
.
Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Karl Mollweide.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \mathrm {\Gamma } }}=d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5dfb48460b13ebf2a399f29c97df66ea70c29c6)
όπου
η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι
, και .
|
|
(1)
|
Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων
![{\displaystyle \sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef21b96c21269feb122ca4e40537c35d406e6073)
|
|
(2)
|
και
.
|
|
(3)
|
Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι
.
|
|
(4)
|
Απόδειξη 1ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (1) έχουμε ότι
.
Έπειτα η (3) και η (4) δίνουν ότι
.
Αφού οι
είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι
. Χρησιμοποιώντας ότι
, καταλήγουμε ότι
.
Απόδειξη 2ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (1) έχουμε ότι
.
Έπειτα η (2) και η (4) δίνουν ότι
.
Αφού οι
είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι
. Χρησιμοποιώντας ότι
, καταλήγουμε ότι
.
Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu.[4]
Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων
.