Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Τρίγωνο με πλευρές
και κορυφές
.
Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο νόμος των εφαπτομένων σε ένα τρίγωνο
είναι η σχέση[1][2][3]
,
όπου
οι πλευρές απέναντι από τις κορυφές
και
.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}=d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183c8e34c9a2b15e98c5973d11e81fc0c69667fc)
όπου
η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι
,
|
|
(1)
|
και
.
|
|
(2)
|
Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς τύπους για το άθροισμα και την διαφορά δύο ημιτόνων
![{\displaystyle \sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef21b96c21269feb122ca4e40537c35d406e6073)
|
|
(3)
|
και
.
|
|
(4)
|
Για να αποδείξουμε τον νόμο των εφαπτομένων ξεκινάμε από το αριστερό μέλος και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (1) και (2),
![{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {d\sin \mathrm {A} -d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {A} +d\sin \mathrm {B} }}={\frac {\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc42bc685a91bb9164e51ee1ad838902b964ff2)
Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3) και (4), έχουμε ότι
,
που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Οι τύποι Mollweide είναι οι εξής
,
και
.
Διαιρώντας και τους δύο τύπους κατά μέλη, έχουμε ότι
.
Αφού
είναι γωνίες τριγώνου έχουμε ότι
. Χρησιμοποιώντας ότι
, λαμβάνουμε ότι
.
Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu[4]