Μετάβαση στο περιεχόμενο

Θεώρημα Μέμπιους-Pompeiu

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Παράδειγμα τριγώνου που δημιουργείται από τις αποστάσεις ως συνέπεια του θεώρηματος Μέμπιους-Pompeiu.
Η εκφυλισμένη περίπτωση του θεωρήματος Μέμπιους-Pompeiu, όταν το είναι σημείο του περιγεγραμμένου τριγώνου του .

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Μέμπιους-Pompeiu (γνωστό και ως θεώρημα Pompeiu) λέει ότι οι αποστάσεις ενός σημείου από τις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου δημιουργούν ένα (πιθανώς εκφυλισμένου) τριγώνου.[1][2]

Πιο συγκεκριμένα, αν είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα σημείο του επιπέδου, τότε υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών ίσα με .

Όταν το είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του , τότε από το θεώρημα van Schooten ισχύει ότι (αν ) και το τρίγωνο θα είναι εκφυλισμένο.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Dimitrie Pompeiu και τον Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους.[3]

Σχήμα απόδειξης. Το τρίγωνο είναι ένα ζητούμενο τρίγωνο.

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο προς την αντίθετη μεριά του από αυτή που βρίσκεται το . Θα δείξουμε ότι το τρίγωνο έχει μήκη πλευρών ίσα με τις αποστάσεις .

Τα τρίγωνα και είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς καθώς έχουν δύο πλευρές (την και ) και την περιεχόμενη τους γωνία ίση (). Επομένως, , συνεπώς το τρίγωνο ικανοποιεί το ζητούμενο.

Ο Pompeiu δημοσίευσε το θεώρημα το 1936,[4] αλλά ο Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους είχε ήδη δημοσιεύσει από το 1852 ένα πιο γενικό θεώρημα για τέσσερα σημεία στο επίπεδο.[5] Σε αυτή τη δημοσίευση ο Μέμπιους ανέφερε το θεώρημα για τα ισόπλευρα τρίγωνα ως πόρισμα του γενικού θεωρήματος.[3]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. Sydler, J. P. (1953). Autre démonstration du théorème de Pompeïu, σελ. 15-16. 
  2. Pavlovic, S. V. (1953). «Sur un démonstration géométrique d'un théorème de M. D. Pompeïu». Elem. Math. (8 \pages=13-15). 
  3. 3,0 3,1 Mitrinović, D.; Pečarić, J.; Volenec, J., V. (1987). «History, Variations and Generalizations of the Möbius-Neuberg theorem and the Möbius-Ponpeiu». Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie 31 (79) (1): 25–38. https://www.jstor.org/stable/43681294. 
  4. Pompeïu, D. (1936). «Une identité entre nombres complexes et un théorème du géometrie élémentaire». Bull. Math. Phys. École Polytechnique Bucarest (6): 6-7. 
  5. Möbius, F. A. (1856). «Über eine Methode, um von Relationen, welche der Longimetrie angehören, zu entsprechenden Sätzen der Planimetrie zu gelangen». Journal für die reine und angewandte Mathematik 52: 229–242. doi:10.1515/crll.1856.52.229. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994243/f198#.