Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο (αποσαφήνιση)

Ἀλλο θέμα

• Ωκεανίδες
• Εθνική Πινακοθήκη-Μουσείο Αλεξάνδρου Σούτζου
• Μουσείο Καλούστ Γκιουλμπενκιάν
• en:Alpheus (deity)
• Κλάρος
• Κύλιξ

• [1]

θέματα για διόρθωση

• Τηθύς
• Νέμεσις
• Ευφροσύνη (μυθολογία)
• Αριστοφάνης ο Βυζάντιος infobox person
• Πτώον όρος
• Άγαλμα του Ολυμπίου Διός

• Virtual International Authority File ελ.
• Βίλνιους

Θέμα επεξεργασίας

en:Widener Library
fr:Liste des universités au Royaume-Uni
en:Category:Digital libraries by country

en:American Mathematical Society


en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση







en:Mersenne conjectures Εικασίες του Μερσέν

Νέο θέμα

Στα μαθηματικά, οι εικασίες του Μερσέν αφορούν τον χαρακτηρισμό ενός είδους πρώτων αριθμών που ονομάζονται πρώτοι αριθμοί Μερσέν, δηλαδή πρώτοι αριθμοί που είναι δύναμη του δύο μείον ένα.

Πρωτότυπη εικασία Μερσέν

Η αρχική, αποκαλούμενη εικασία του Μερσέν, ήταν μια δήλωση του Μαρίν Μερσέν στο έργο του Cogitata Physico-Mathematica (1644, βλ. π.χ. Dickson 1919) ότι οι αριθμοί $2^{n}-1$ ήταν πρώτοι για n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 και 257, και ήταν σύνθετοι για όλους τους άλλους θετικούς ακέραιους αριθμούς n ≤ 257. Οι πρώτες επτά καταχωρήσεις του καταλόγου του ($2^{n}-1$ για n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) είχαν ήδη αποδειχθεί ότι είναι πρώτοι αριθμοί με δοκιμαστική διαίρεση πριν από την εποχή του Μερσέν, μόνο οι τέσσερις τελευταίες καταχωρίσεις ήταν νέοι ισχυρισμοί του Μερσέν. Λόγω του μεγέθους αυτών των τελευταίων αριθμών, ο Μερσέν δεν τους έλεγξε και δεν μπορούσε να τους ελέγξει όλους, ούτε οι ομότεχνοί του τον 17ο αιώνα. Τελικά διαπιστώθηκε, μετά από τρεις αιώνες και τη διαθεσιμότητα νέων τεχνικών, όπως το τεστ Λούκας-Λέμερ, ότι η εικασία του Μερσέν περιείχε πέντε λάθη, δηλαδή δύο καταχωρίσεις είναι σύνθετες (αυτές που αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς n = 67, 257) και τρεις πρώτοι αριθμοί λείπουν (αυτοί που αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς n = 61, 89, 107). Ο σωστός κατάλογος για n ≤ 257 είναι: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 και 127.

Αν και η αρχική εικασία του Μερσέν ήταν λανθασμένη, ωστόσο οδήγησε στη Νέα εικασία Μερσέν.

Νέα εικασία Μερσέν

Η νέα εικασία Μερσέν ή εικασία των Μπάτεμαν, Σέλφριτζ και Γουάγκσταφ (Bateman et al. 1989) δηλώνει ότι για κάθε περιττό φυσικό αριθμό p, αν ισχύουν δύο από τις ακόλουθες συνθήκες, τότε ισχύει και η τρίτη:

1. p = 2^k ± 1 ή p = 4^k ± 3 για κάποιο φυσικό αριθμό k. ((ακολουθία A122834 στην OEIS))
2. 2^p − 1 είναι πρώτος αριθμός (πρώτος αριθμός Μέρσεν). ((ακολουθία A000043 στην OEIS))
3. (2^p + 1)/3 είναι πρώτος αριθμός (πρώτος αριθμός του Γουάγκσταφ). ((ακολουθία A000978 στην OEIS))

Αν το p είναι περιττός σύνθετος αριθμός, τότε ο -2^p − 1 και ο (2^p + 1)/3 είναι και οι δύο σύνθετοι. Επομένως, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε μόνο τους πρώτους αριθμούς για να επαληθεύσουμε την ορθότητα της εικασίας.

Επί του παρόντος, υπάρχουν εννέα γνωστοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν και οι τρεις προϋποθέσεις: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (ακολουθία (ακολουθία A107360 στην OEIS)). Οι Μπάτεμαν κ.ά. ανέμεναν ότι κανένας αριθμός μεγαλύτερος από τον 127 δεν ικανοποιεί και τις τρεις συνθήκες και έδειξαν ότι ευρετικά κανένας μεγαλύτερος αριθμός δεν θα ικανοποιούσε καν δύο συνθήκες, γεγονός που θα έκανε τη Νέα Εικασία Μερσέν αληθής.

Από το 2024, είναι γνωστοί όλοι οι πρώτοι αριθμοί Μερσέν μέχρι το 2^57885161 - 1, και για κανέναν από αυτούς δεν ισχύει η τρίτη συνθήκη, εκτός από αυτούς που μόλις αναφέρθηκαν. Οι πρώτοι αριθμοί που ικανοποιούν τουλάχιστον μία συνθήκη είναι οι εξής Οι πρώτοι αριθμοί που ικανοποιούν τουλάχιστον μία συνθήκη είναι

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (ακολουθία A120334 στην OEIS)

Ας σημειωθεί ότι οι δύο πρώτοι αριθμοί για τους οποίους η αρχική εικασία Μερσέν είναι λανθασμένη (67 και 257) ικανοποιούν την πρώτη συνθήκη της νέας εικασίας (67 = 2⁶ + 3, 257 = 2⁸ + 1), αλλά όχι οι άλλοι δύο. Οι 89 και 107, οι οποίοι είχαν χαθεί από τον Μερσέν, ικανοποιούν τη δεύτερη συνθήκη, αλλά όχι τις άλλες δύο. Ο Μερσέν μπορεί να πίστευε ότι το 2^p − 1 είναι πρώτος μόνο αν p = 2^k ± 1 or p = 4^k ± 3 για κάποιον φυσικό αριθμό k, αλλά αν πίστευε ότι ήταν «αν και μόνο αν» θα είχε συμπεριλάβει το 61.

Κατάσταση της νέας εικασίας Μερσέν για τους πρώτους 100 πρώτους αριθμούς

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541

Κόκκινο: Το p έχει τη μορφή 2n±1 ή 4n±3

Κυανό φόντο: 2p−1 είναι πρώτος

Πλάγια γράμματα: (2p+1)/3 είναι πρώτος

Έντονη γραφή: το p ικανοποιεί τουλάχιστον μία συνθήκη

Η νέα εικασία Μερσέν μπορεί να θεωρηθεί ως μια προσπάθεια να διασωθεί η εικασία του Μερσέν, η οποία είναι λανθασμένη. Ωστόσο, σύμφωνα με τον Ρόμπερτ Ν. Σίλβερμαν, ο Τζον Σέλφριτζ συμφώνησε ότι η Νέα εικασία Μερσέν είναι «προφανώς αληθής», καθώς επιλέχθηκε για να ταιριάζει με τα γνωστά δεδομένα και τα αντιπαραδείγματα πέραν αυτών των περιπτώσεων είναι εξαιρετικά απίθανα. Μπορεί να θεωρηθεί περισσότερο ως μια περίεργη παρατήρηση παρά ως ένα ανοικτό ερώτημα που χρήζει απόδειξης.

Το Prime Pages δείχνει ότι η Νέα εικασία Μερσέν είναι αληθής για όλους τους ακέραιους αριθμούς μικρότερους ή ίσους με 30402457, απαριθμώντας συστηματικά όλους τους πρώτους αριθμούς για τους οποίους είναι ήδη γνωστό ότι ισχύει μία από τις προϋποθέσεις.

Εικασία Λένστρα-Πόμερανς-Γουάγκσταφ

Οι Λένστρα, Πόμερανς και Γουάγκσταφ υπέθεσαν ότι υπάρχουν άπειροι πολλοί πρώτοι αριθμοί Μερσέν, και, πιο συγκεκριμένα, ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών Μερσέν μικρότερος από x προσεγγίζεται ασυμπτωτικά από

$e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),$

όπου γ είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι. Με άλλα λόγια, ο αριθμός των πρώτων αριθμών Μερσέν με εκθέτη p μικρότερο από y είναι ασυμπτωτικά

$e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).$

Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει κατά μέσο όρο να υπάρχουν περίπου $e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)$ ≈ 5.92 πρώτοι αριθμοί p ενός δεδομένου αριθμού δεκαδικών ψηφίων, ώστε $M_{p}$ να είναι πρώτος. Η εικασία είναι αρκετά ακριβής για τους πρώτους 40 πρώτους αριθμούς Μερσέν, αλλά μεταξύ2^20,000,000 και 2^85,000,000 υπάρχουν τουλάχιστον 12, αντί του αναμενόμενου αριθμού που είναι περίπου 3,7.

Γενικότερα, το πλήθος των πρώτων αριθμών p ≤ y ώστε ${\frac {a^{p}-b^{p}}{a-b}}$ να είναι πρώτος (όπου a, b είναι σχετικά πρώτοι ακέραιοι αριθμοί, a > 1, −a < b < a, a και b δεν είναι και οι δύο τέλειες r-th δυνάμεις για κάθε φυσικό αριθμό r > 1, και −4ab δεν είναι τέλεια τέταρτη δύναμη) είναι ασυμπτωτικά

$(e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y).$

όπου m είναι ο μεγαλύτερος μη αρνητικός ακέραιος αριθμός ώστε a και -b να είναι αμφότεροι τέλειες 2^m-ες δυνάμεις. Η περίπτωση των πρώτων αριθμών Μερσέν είναι μια περίπτωση (a, b) = (2, 1).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Υπόθεση Ρίμαν
• Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν
• Πρώτος αριθμός
• Τέρενς Τάο
• Ευρετική
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Stewart, Ian (2 Οκτωβρίου 2014). Professor Stewart's Casebook of Mathematical Mysteries. Profile. ISBN 978-1-84765-432-8. 
• Chow, Bennett (9 Φεβρουαρίου 2023). Introduction to Proof Through Number Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7027-2. 
• W. Sierpinski (1964). A Selection Of Problems In The Theory Of Numbers. 
• DAVID WELLS. PRIME NUMBERS - THE MOST MYSTERIOUS NUMBERS IN MATH. 
• Barnes-Svarney, Patricia· Svarney, Thomas E. (1 Μαΐου 2012). The Handy Math Answer Book. Visible Ink Press. ISBN 978-1-57859-388-0. 
• O'Shea, Owen (29 Μαρτίου 2016). The Call of the Primes: Surprising Patterns, Peculiar Puzzles, and Other Marvels of Mathematics. Prometheus Books. ISBN 978-1-63388-149-5. 
• Crandall, Richard· Pomerance, Carl B. (7 Απριλίου 2006). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-28979-3. 
• Fine, Benjamin· Rosenberger, Gerhard (4 Ιουνίου 2007). Number Theory: An Introduction via the Distribution of Primes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4541-0. 
• Kraft, James· Washington, Lawrence (29 Ιανουαρίου 2018). An Introduction to Number Theory with Cryptography. CRC Press. ISBN 978-1-315-16100-6. 
• Childs, Lindsay N. (26 Νοεμβρίου 2008). A Concrete Introduction to Higher Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-74527-5. 

Παραπομπές

• Bateman, P. T.; :en: Selfridge, J. L.; :en: Wagstaff Jr., Samuel S.. «The new Mersenne conjecture». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) (2): 125–128. doi:10.2307/2323195. . 
• Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. σελ. 31. OL 6616242M.  Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
• Polya, George (23 Αυγούστου 1990). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02509-4. 

Πηγές

• Weisstein, Eric W., "Legendre's conjecture" από το MathWorld.
• «Legendre's Conjecture» (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Δεκεμβρίου 2024. 
• «The Proofs of Legendre's Conjecture and Three Related Conjectures - Journal of Applied Mathematics and Physics - SCIRP». www.scirp.org. Ανακτήθηκε στις 27 Δεκεμβρίου 2024. 
• Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics, Birkhäuser, ISBN 9780817681302, https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 

[[Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών] [[Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς] [[Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί] [[Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Κινέζοι επιστήμονες] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Ασιάτες επιστήμονες] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 20ού αιώνα]

[[Κατηγορία:Πανεπιστήμια στην Κίνα] [[Κατηγορία:Ακαδημίες επιστημών]

[[Κατηγορία:Απόφοιτοι του Πανεπιστημίου του Τόκιο] [[Κατηγορία:Ιάπωνες μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 20ού αιώνα] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 21ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Ιππότες της Λεγεώνας της Τιμής]

[[Κατηγορία:Ιάπωνες βιολόγοι] [[Κατηγορία:Ιάπωνες επιστήμονες] [[ΚΚατηγορία:Καθηγητές ανά ανώτατο εκπαιδευτικό ίδρυμα στην Ιαπωνία] [[Κατηγορία:Ιάπωνες εφευρέτες]

[[Κατηγορία:Πανεπιστήμια στην Ιαπωνία]

[[Κατηγορία:Διαφορικές εξισώσεις] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Τοπολογία]

[[Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρίαν] [[Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα]

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Θεωρία αναπαραστάσεων] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών]

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση]

[[Κατηγορία:Μαθηματικά προβλήματα]

[[Κατηγορία:Διάσταση]

[[Κατηγορία:Επιστήμη υπολογιστών]

---

[[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

---

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

---

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Μιγαδική αναλυτική ποικιλία } [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]

---

[[Κατηγορία:Ιστότοπος-επέκταση] [[Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]

[[Κατηγορία: Κατηγορία:Γάλλοι εκδότες] [[Κατηγορία:Εκδοτικοί οίκοι]

[[Κατηγορία:Μουσεία στο Παρίσι [[Κατηγορία:Νομισματικά μουσεία

[[Κατηγορία:Ιλιάδα [[Κατηγορία:Ήφαιστος

Δείτε επίσης

• Κατάλογος μεγαλύτερων βιβλιοθηκών
• Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών
• Παγκόσμια Ψηφιακή Βιβλιοθήκη
• Europeana
• Ευρωπαϊκή Βιβλιοθήκη

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Επίσημη ιστοσελίδα

Παραπομπές

{Authority control}}

Κατηγορία:Εθνικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Βιβλιοθήκες στη Σαουδική Αραβία]]

[Κατηγορία:Ιστορικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Τορίνο]]

Κατηγορία:Βιβλιοθήκες ανά χώρα]]

Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]]

Κατηγορία:Ερευνητικά κέντρα ανά χώρα]] Κατηγορία:Πανεπιστήμια ανά χώρα]]

{commonscat}}

---

Άλλο θἐμα

List of national and state libraries
de:Liste der Nationalbibliotheken
es:Anexo:Bibliotecas nacionales

Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών

---