Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο (αποσαφήνιση)

Ἀλλο θέμα

• Ωκεανίδες
• Εθνική Πινακοθήκη-Μουσείο Αλεξάνδρου Σούτζου
• Μουσείο Καλούστ Γκιουλμπενκιάν
• en:Alpheus (deity)
• Κλάρος
• Κύλιξ

• [1]

θέματα για διόρθωση

• Τηθύς
• Νέμεσις
• Ευφροσύνη (μυθολογία)
• Αριστοφάνης ο Βυζάντιος infobox person
• Πτώον όρος
• Άγαλμα του Ολυμπίου Διός

• Virtual International Authority File ελ.
• Βίλνιους

Θέμα επεξεργασίας

en:Widener Library
fr:Liste des universités au Royaume-Uni
en:Category:Digital libraries by country

en:American Mathematical Society


en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση







en:Sheaf (mathematics) Δεμάτιο (μαθηματικά)

Νέο θέμα

Στα μαθηματικά, το δεμάτιο (πληθ.: δεμάτια) είναι ένα εργαλείο για τη συστηματική παρακολούθηση δεδομένων (όπως σύνολα, αβελιανές ομάδες, δακτύλιοι) που συνδέονται με τα ανοικτά σύνολα ενός τοπολογικού χώρου και ορίζονται τοπικά ως προς αυτά. Επί παραδείγματι, για κάθε ανοικτό σύνολο, τα δεδομένα θα μπορούσαν να είναι ο δακτύλιος των συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται σε αυτό το ανοικτό σύνολο. Τέτοια δεδομένα συμπεριφέρονται καλά, δεδομένου ότι μπορούν να περιοριστούν σε μικρότερα ανοικτά σύνολα και επίσης τα δεδομένα που αντιστοιχούν σε ένα ανοικτό σύνολο είναι ισοδύναμα με όλες τις συλλογές συμβατών δεδομένων που αντιστοιχούν σε συλλογές μικρότερων ανοικτών συνόλων που καλύπτουν το αρχικό ανοικτό σύνολο (διαισθητικά, κάθε δεδομένο είναι το άθροισμα των δεδομένων που το αποτελούν).

Ο τομέας των μαθηματικών που μελετάει τα δεμάτια ονομάζεται θεωρία δεματίων (sheaf theory).

Τα δεμάτια νοούνται εννοιολογικά ως γενικά και αφηρημένα αντικείμενα. Ο ακριβής ορισμός τους είναι μάλλον τεχνικός. Ορίζονται συγκεκριμένα ως κύματα συνόλων ή ως δεμάτια δακτυλίων, ανάλογα με το είδος των δεδομένων που αποδίδονται στα ανοικτά σύνολα.

Υπάρχουν επίσης χάρτες (ή μορφισμοί) από ένα δεμάτιο σε ένα άλλο- τα δεμάτια (ενός συγκεκριμένου τύπου, όπως τα δεμάτια των αβελιανών ομάδων) με τους μορφισμούς τους σε έναν σταθερό τοπολογικό χώρο σχηματίζουν μια κατηγορία. Από την άλλη πλευρά, κάθε συνεχής χάρτης σχετίζεται τόσο με έναν άμεσο συναρτητή εικόνας, που παίρνει τα δεμάτια και τους μορφισμούς τους στο χώρο σε δεμάτια και μορφισμούς στο συναρτησιακό χώρο, όσο και με έναν αντίστροφο συναρτητή εικόνας που λειτουργεί προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτοί οι τελεστές, καθώς και ορισμένες παραλλαγές τους, είναι βασικά στοιχεία της θεωρίας των δεματίων.

Λόγω της γενικής τους φύσης και της ευελιξίας τους, τα δεμάτια έχουν πολλές εφαρμογές στην τοπολογία και ιδιαίτερα στην αλγεβρική και διαφορική γεωμετρία. Πρώτον, γεωμετρικές δομές, όπως αυτή μιας διαφορίσιμης πολλαπλότητας ή ενός σχήματος, μπορούν να εκφραστούν με όρους ενός δεματίου δακτυλίων στο χώρο. Σε τέτοια πλαίσια, διάφορες γεωμετρικές κατασκευές, όπως διανυσματικές δέσμες ή διαιρέτες, προσδιορίζονται φυσικά με όρους δεματίων. Δεύτερον, τα δεμάτια παρέχουν το πλαίσιο για μια πολύ γενική θεωρία συνομολογίας, η οποία περιλαμβάνει επίσης τις «συνήθεις» τοπολογικές θεωρίες συνομολογίας, όπως η ιδιάζουσα συνομολογία. Ειδικά στην αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία των μιγαδικών πολλαπλοτήτων, η συνομολογία των δεματίων παρέχει έναν ισχυρό σύνδεσμο μεταξύ τοπολογικών και γεωμετρικών ιδιοτήτων των χώρων. Τα δεμάτια παρέχουν επίσης τη βάση για τη θεωρία των D-modules, οι οποίες παρέχουν εφαρμογές στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Επιπλέον, οι γενικεύσεις των δεματίων σε πιο γενικά πλαίσια από τους τοπολογικούς χώρους, όπως η τοπολογία του Γκρότεντιεκ, παρείχαν εφαρμογές στη μαθηματική λογική και στη θεωρία αριθμών.

Ορισμοί και παραδείγματα

Σε πολλούς μαθηματικούς κλάδους, διάφορες δομές που ορίζονται σε έναν τοπολογικό χώρο $X$ (πχ, η διαφορίσιμη πολλαπλότητα) μπορούν φυσικά να εντοπιστούν ή να περιοριστούν σε ανοικτά υποσύνολα $U\subseteq X$: τυπικά παραδείγματα περιλαμβάνουν συνεχείς συναρτήσεις πραγματικής ή μιγαδικής αξίας, $n$-φορές διαφορίσιμες (πραγματικής ή μιγαδικής αξίας) συναρτήσεις, περιορισμένες συναρτήσεις πραγματικής αξίας, διανυσματικά πεδία και τμήματα οποιασδήποτε διανυσματικής δέσμης στο χώρο. Η δυνατότητα περιορισμού των δεδομένων σε μικρότερα ανοικτά υποσύνολα δίνει την έννοια των δεματίων (presheaves). Σε γενικές γραμμές, τα δεμάτια είναι στη συνέχεια αυτά τα presheaves, όπου τα τοπικά δεδομένα μπορούν να συνδεθούν με γενικά δεδομένα.

Presheaves

Έστω $X$ ένας τοπολογικός χώρος. Ένα presheaf ${\mathcal {F}}$ συνόλων στον $X$ αποτελείται από τα ακόλουθα δεδομένα:

• Για κάθε ανοικτό σύνολο $U\subseteq X$, υπάρχει ένα σύνολο ${\mathcal {F}}(U)$. Το σύνολο αυτό συμβολίζεται επίσης ως $\Gamma (U,{\mathcal {F}})$. Τα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται τμήματα του ${\mathcal {F}}$ πάνω στο $U$. Τα τμήματα του ${\mathcal {F}}$ πάνω από το $X$ ονομάζονται καθολικά τμήματα του ${\mathcal {F}}$.
• Για κάθε συμπερίληψη ανοικτών συνόλων $V\subseteq U$, μια συνάρτηση $\operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)$. Λόγω πολλών από τα παραδείγματα που ακολουθούν, οι μορφισμοί ${\text{res}}_{V}^{U}$ ονομάζονται μορφισμοί περιορισμού. Αν $s\in {\mathcal {F}}(U)$, τότε ο περιορισμός του ${\text{res}}_{V}^{U}(s)$ συχνά συμβολίζεται $s|_{V}$ κατ' αναλογία με τον περιορισμό των συναρτήσεων.

Οι μορφισμοί περιορισμού απαιτείται να ικανοποιούν δύο πρόσθετες λειτουργικές) ιδιότητες:

• Για κάθε ανοικτό σύνολο $U$ του $X$, ο μορφισμός περιορισμού $\operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)$ είναι ο μορφισμός ταυτότητας στο ${\mathcal {F}}(U)$.
• Αν έχουμε τρία ανοικτά σύνολα $W\subseteq V\subseteq U$, τότε η σύνθεση ${\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}$

Άτυπα, το δεύτερο αξίωμα λέει ότι δεν έχει σημασία αν περιορίζουμε στο $W$ σε ένα βήμα ή αν περιορίζουμε πρώτα στο $V$ και μετά στο $W$. Μια συνοπτική συναρτησιακή αναδιατύπωση αυτού του ορισμού δίνεται παρακάτω.

Πολλά παραδείγματα presheaves προέρχονται από διάφορες κατηγορίες συναρτήσεων: σε κάθε $U$, μπορεί κανείς να αναθέσει το σύνολο $C^{0}(U)$ των συνεχών συναρτήσεων πραγματικών τιμών στο $U$. Οι χάρτες περιορισμού δίνονται τότε απλά από τον περιορισμό μιας συνεχούς συνάρτησης στο $U$ σε ένα μικρότερο ανοικτό υποσύνολο $V\subseteq U$, το οποίο είναι και πάλι μια συνεχής συνάρτηση. Τα δύο αξιώματα των πρεσβυφυρών ελέγχονται αμέσως, δίνοντας έτσι ένα παράδειγμα πρεσβυφυρών. Αυτό μπορεί να επεκταθεί σε ένα πρίσμα ολόμορφων συναρτήσεων ${\mathcal {H}}(-)$ και σε ένα presheaf λείων συναρτήσεων $C^{\infty }(-)$.

Μια άλλη κοινή κατηγορία παραδειγμάτων είναι η ανάθεση στο $U$ του συνόλου των σταθερών συναρτήσεων πραγματικών τιμών στο $U$. Αυτό το presheaf ονομάζεται σταθερό presheaf που σχετίζεται με το $\mathbb {R}$ και συμβολίζεται ${\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}$.

Δεμάτια

Δεδομένου ενός presheaf, ένα φυσικό ερώτημα που τίθεται είναι σε ποιο βαθμό τα τμήματά του πάνω από ένα ανοικτό σύνολο U {\displaystyle U} καθορίζονται από τους περιορισμούς τους σε ανοικτά υποσύνολα του $U$. Ένα δεμάτιο είναι ένα presheaf του οποίου τα τμήματα είναι, με μια τεχνική έννοια, μοναδικά καθορισμένα από τους περιορισμούς τους.

Σύμφωνα με αξιωματικά κριτήρια, ένα δεμάτιο είναι ένα presheaf που ικανοποιεί τα ακόλουθα δύο αξιώματα:

1. (Τοπικότητα) Ας υποθέσουμε ότι $U$ είναι ένα ανοικτό σύνολο, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ είναι ένα ανοικτό κάλυμμα του $U$ με $U_{i}\subseteq U$ για όλα τα $i\in I$, και $s,t\in {\mathcal {F}}(U)$ είναι τμήματα. Αν $s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}$ για όλα τα $i\in I$, τότε $s=t$.
2. (Συγκόλληση) Έστω ότι $U$ είναι ένα ανοικτό σύνολο, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ είναι ένα ανοικτό κάλυμμα του $U$ με $U_{i}\subseteq U$ για όλα τα $i\in I$, και $\{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}$ είναι μια οικογένεια τμημάτων. Αν όλα τα ζεύγη των τομών συμφωνούν στην επικάλυψη των περιοχών τους, δηλαδή αν $s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ για όλα τα $i,j\in I$, τότε υπάρχει τμήμα $s\in {\mathcal {F}}(U)$ τέτοιο ώστε $s|_{U_{i}}=s_{i}$ για όλα τα $i\in I$.

Και στα δύο αυτά αξιώματα, η υπόθεση για το ανοιχτό κάλυμμα είναι ισοδύναμη με την υπόθεση ότι ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$.

Το τμήμα $s$ του οποίου η ύπαρξη εξασφαλίζεται από το αξίωμα 2 ονομάζεται συγκόλληση, συνένωση ή παράθεση των τμημάτων $s_{i}$. Σύμφωνα με το αξίωμα 1 είναι μοναδικό. Τα τμήματα $s_{i}$ και $s_{j}$ που ικανοποιούν την προϋπόθεση συμφωνίας του αξιώματος 2 συχνά ονομάζονται συμβατά ; έτσι τα αξιώματα 1 και 2 μαζί δηλώνουν ότι οποιαδήποτε συλλογή από κατά ζεύγη συμβατά τμήματα μπορεί να συγκολληθεί μοναδικά. Ένας διαχωρισμένος presheaf, ή monopresheaf, είναι ένα presheaf που ικανοποιεί το αξίωμα 1.

Το presheaf που αποτελείται από τις συνεχείς συναρτήσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω είναι ένα δεμάτιο. Ο ισχυρισμός αυτός ανάγεται στον έλεγχο ότι, δεδομένων συνεχών συναρτήσεων $f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R}$ που συμφωνούν στις τομές $U_{i}\cap U_{j}$, υπάρχει μια μοναδική συνεχής συνάρτηση $f:U\to \mathbb {R}$ της οποίας ο περιορισμός ισούται με την $f_{i}$. Αντίθετα, το σταθερό presheaf συνήθως δεν είναι δεμάτιο καθώς δεν ικανοποιεί το αξίωμα της τοπικότητας στο κενό σύνολο (αυτό εξηγείται αναλυτικότερα στο σταθερό δεμάτιο).

Τα presheaves και τα δεμάτια συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα, με το $F$ να είναι ιδιαίτερα συνηθισμένο, προφανώς εξαιτίας της γαλλικής λέξης για το δεμάτιο, faisceau. Η χρήση καλλιγραφικών γραμμάτων όπως ${\mathcal {F}}$ είναι επίσης συνηθισμένη.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι για να προσδιορίσουμε ένα δεμάτιο, αρκεί να προσδιορίσουμε τον περιορισμό του στα ανοικτά σύνολα μιας βάσης για την τοπολογία του υποκείμενου χώρου. Επιπλέον, μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι αρκεί να επαληθεύσουμε τα παραπάνω αξιώματα της στιβάδας σε σχέση με τα ανοικτά σύνολα μιας κάλυψης. Η παρατήρηση αυτή χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός άλλου παραδείγματος που είναι κρίσιμο στην αλγεβρική γεωμετρία, δηλαδή των οιονεί συνεκτικών δεματίων. Εδώ ο εν λόγω τοπολογικός χώρος είναι το φάσμα ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου $R$, του οποίου τα σημεία είναι τα πρώτα ιδεώδη ${\mathfrak {p}}$ στον $R$. Τα ανοικτά σύνολα $D_{f}:=\{\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}$ αποτελούν μια βάση για την τοπολογία Ζαρίσκι σε αυτόν τον χώρο. Δεδομένου ενός $R$-μονάδας $M$, υπάρχει ένα δεμάτιο, που συμβολίζεται με ${\tilde {M}}$ στο $\operatorname {Spec} R$, που ικανοποιεί

${\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],$ ο εντοπισμός του $M$ στο $f$.

Υπάρχει ένας άλλος χαρακτηρισμός των δεματίων που είναι ισοδύναμος με αυτόν που συζητήθηκε προηγουμένως.

Ένα presheaf ${\mathcal {F}}$ είναι δεμάτιο αν και μόνο αν για κάθε ανοικτό $U$ και κάθε ανοικτό κάλυμμα $\{U_{a}\}$ του $U$, ${\mathcal {F}}(U)$ είναι το νηματικό γινόμενο${\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})$. Αυτός ο χαρακτηρισμός είναι χρήσιμος στην κατασκευή κυψελών, παραδείγματος χάριν, αν ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ είναι αβελιανά δεμάτια, τότε ο πυρήνας του μορφισμού δεματίων ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ είναι ένα δεμάτιο, αφού τα προβολικά όρια ανταλλάσσονται με τα προβολικά όρια. Από την άλλη πλευρά, ο συμπυρήνας δεν είναι πάντοτε δεμάτιο, επειδή το επαγωγικό όριο δεν αντιμετατίθεται απαραίτητα με τα προβολικά όρια. Ένας από τους τρόπους για να το διορθώσουμε αυτό είναι να θεωρήσουμε Nαιτεριανούς χώρους- κάθε ανοιχτό σύνολο είναι συμπαγές, έτσι ώστε ο συμπυρήνας να είναι δεμάτιο, αφού τα πεπερασμένα προβολικά όρια αντιμετατίθενται με τα επαγωγικά όρια.

Περαιτέρω παραδείγματα

Τμημάτα δεματίου μιας συνεχής απεικόνιση

Κάθε συνεχής απεικόνιση $f:Y\to X$ των τοπολογικών χώρων καθορίζει μια στήλη $\Gamma (Y/X)$ στο $X$ θέτοντας

$\Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.$

Κάθε τέτοιο $s$ ονομάζεται συνήθως τμήμα του $f$, και αυτό το παράδειγμα είναι ο λόγος για τον οποίο τα στοιχεία του ${\mathcal {F}}(U)$ ονομάζονται γενικά τμήματα. Αυτή η κατασκευή είναι ιδιαίτερα σημαντική όταν η $f$ είναι η προβολή μιας δέσμης ινών στο βασικό της χώρο. Παραδείγματος χάριν, δεμάτια των λείων συναρτήσεων είναι οι δεμάτια των τμημάτων της τετριμμένης δέσμης.

Ένα άλλο παράδειγμα: το δεμάτιο των τμημάτων του

$\mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \setminus \{0\}$

είναι ταδεμάτια που αναθέτει σε κάθε $U\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\}$ το σύνολο των κλάδων του μιγαδικού λογαρίθμου στο $U$.

Δοθέντος ενός σημείου $x$ και μιας αβελιανής ομάδας $S$, το skyscraper δεμάτιο $S_{x}$ ορίζεται ως εξής: αν $U$ είναι ένα ανοικτό σύνολο που περιέχει το $x$, τότε $S_{x}(U)=S$. Αν $U$ δεν περιέχει $x$, τότε $S_{x}(U)=0$, η τετριμμένη ομάδα. Οι απεικονίσεις περιορισμού είναι είτε η ταυτότητα στην $S$, αν και τα δύο ανοικτά σύνολα περιέχουν $x$, είτε η αλλιώς μηδενική απεικόνιση.

Δεμάτια σε πολλαπλότητες

Σε μια $n$-διάστατη $C^{k}$-πολλαπλότητα $M$, υπάρχει ένας αριθμός σημαντικών δεματίων όπως το δεμάτιο των $j$-φορές συνεχώς διαφορίσιμων συναρτήσεων ${\mathcal {O}}_{M}^{j}$ (με $j\leq k$). Τα τμήματά της σε κάποιο ανοικτό $U$ είναι οι $C^{j}$-συναρτήσεις $U\to \mathbb {R}$. Για $j=k$, αυτή το εμάτιο ονομάζεται δομή δεματίου και συμβολίζεται ${\mathcal {O}}_{M}$. Οι μη μηδενικές συναρτήσεις $C^{k}$ σχηματίζουν επίσης ένα δεμάτιο, το οποίο συμβολίζεται ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$. Οι διαφορικές μορφές (βαθμού $p$) σχηματίζουν επίσης ένα δεμάτιο $\Omega _{M}^{p}$. Σε όλα αυτά τα παραδείγματα, οι μορφισμοί περιορισμού δίνονται από περιοριστικές συναρτήσεις ή μορφές.

Η ανάθεση που στέλνει το $U$ στις συμπαγώς υποστηριζόμενες συναρτήσεις στο $U$ δεν είναι ένα δεμάτιο, καθώς δεν υπάρχει, γενικά, κανένας τρόπος να διατηρηθεί αυτή η ιδιότητα με το πέρασμα σε ένα μικρότερο ανοικτό υποσύνολο. Αντ' αυτού, αυτό σχηματίζει ένα cosheaf, μια διπλή έννοια όπου οι χάρτες περιορισμού πηγαίνουν προς την αντίθετη κατεύθυνση από ό,τι με τα δεμάτια . Ωστόσο, λαμβάνοντας το δυϊκό αυτών των διανυσματικών χώρων προκύπτει ένα δεμάτιο, οι κατανομές των δεματίων.

Presheaves δεν είναι δεμάτια

Εκτός από το σταθερό presheaf που αναφέρθηκε παραπάνω, το οποίο συνήθως δεν είναι δεμάτιο, υπάρχουν και άλλα παραδείγματα presheaves που δεν είναι δεμάτια:

• Έστω $X$ ο τοπολογικός χώρος δύο σημείων $\{x,y\}$ με διακριτή τοπολογία. Ορίστε ένα πρίσμα $F$ ως εξής: $F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ Ο χάρτης περιορισμού $F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ είναι η προβολή του $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ στην πρώτη συντεταγμένη του, και ο χάρτης περιορισμού $F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ είναι η προβολή του $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ στη δεύτερη συντεταγμένη του. Το $F$ είναι ένα δεμάτιο που δεν διαχωρίζεται: ένα συνολικό τμήμα καθορίζεται από τρεις αριθμούς, αλλά οι τιμές αυτού του τμήματος πάνω στα $\{x\}$ και $\{y\}$ καθορίζουν μόνο δύο από αυτούς τους αριθμούς. Έτσι, ενώ μπορούμε να κολλήσουμε οποιαδήποτε δύο τμήματα πάνω από τα $\{x\}$ και $\{y\}$, δεν μπορούμε να τα ενώσουμε μοναδικά.
• Έστω $X=\mathbb {R}$ η πραγματική γραμμή, και έστω $F(U)$ το σύνολο των περιορισμένων συνεχών συναρτήσεων στην $U$. Αυτό δεν είναι ένα δεμάτιο επειδή δεν είναι πάντα δυνατό να κολληθεί. Για παράδειγμα, έστω $U_{i}$ το σύνολο όλων των $x$ τέτοιων ώστε $|x|<i$. Η συνάρτηση ταυτότητας $f(x)=x$ είναι περιορισμένη σε κάθε $U_{i}$. Κατά συνέπεια, έχουμε μια τομή $s_{i}$ στην $U_{i}$. Ωστόσο, αυτά τα τμήματα δεν κολλάνε, επειδή η συνάρτηση $f$ δεν είναι περιορισμένη στην πραγματική γραμμή. Κατά συνέπεια, η $F$ είναι ένα presheaf, αλλά όχι ένα δεμάτιο. Στην πραγματικότητα, η $F$ διαχωρίζεται επειδή είναι sub-presheaf του δεματίου των συνεχών συναρτήσεων.

Κίνητρα για δεμάτια από μιγαδικους αναλυτικούς χώρους και αλγεβρική γεωμετρία

Ένα από τα ιστορικά κίνητρα για τα δεμάτια προήλθε από τη μελέτη των σύνθετων πολλαπλοτήτων, της μιγαδικής αναλυτικής γεωμετρίας, και της θεωρίας σχημάτων από την αλγεβρική γεωμετρία. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις, θεωρούμε έναν τοπολογικό χώρο $X$ μαζί με μια δομή δεματίου ${\mathcal {O}}$ που του δίνει τη δομή μιας μιγαδικής πολλαπλότητας, ενός μιγαδικού αναλυτικού χώρου ή ενός σχήματος. Αυτή η προοπτική του εφοδιασμού ενός τοπολογικού χώρου με ένα δεμάτιο είναι ουσιώδης για τη θεωρία των τοπικά δακτυλιοειδών χώρων (βλ. παρακάτω).

Τεχνικές προκλήσεις με μιγαδικές πολλαπλότητες

Ένα από τα κύρια ιστορικά κίνητρα για την εισαγωγή των δεματίων ήταν η κατασκευή μιας συσκευής που να παρακολουθεί τις ολόμορφες συναρτήσεις σε μιγαδικές πολλαπλότητες. Επί παραδείγματι, σε μια συμπαγή μιγαδική πολλαπλότητα $X$ (όπως ο μιγαδικός προβολικός χώρος ή ο τόπος φυγής στον προβολικό χώρο ενός ομογενούς πολυωνύμου), οι μόνες ολόμορφες συναρτήσεις

$f:X\to \mathbb {C}$

είναι οι σταθερές συναρτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο συμπαγείς μιγαδικές πολλαπλότητες $X,X'$ που δεν είναι ισόμορφες, αλλά παρ' όλα αυτά οι δακτύλιοι των συνολικών ολομορφικών συναρτήσεων τους, που συμβολίζονται με ${\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')$, είναι ισόμορφες. Σε αντίθεση με τις λείες πολλαπλότητες, όπου κάθε πολλαπλότητα $M$ μπορεί να ενσωματωθεί μέσα σε κάποια $\mathbb {R} ^{n}$, άρα ο δακτύλιος των λείων συναρτήσεων $C^{\infty }(M)$ προέρχεται από τον περιορισμό των λείων συναρτήσεων από την $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$.

Μια άλλη δυσκολία κατά την εξέταση του δακτυλίου των ολόμορφων συναρτήσεων σε μια μιγαδική πολλαπλότητα $X$ είναι ότι δεδομένου ενός αρκετά μικρού ανοικτού συνόλου $U\subseteq X$, οι ολόμορφες συναρτήσεις θα είναι ισομορφικές με ${\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})$. Το δεμάτιο είναι ένα άμεσο εργαλείο για την αντιμετώπιση αυτής της πολυπλοκότητας, καθώς καθιστούν δυνατή την παρακολούθηση της ολομορφικής δομής στον υποκείμενο τοπολογικό χώρο του $X$ σε αυθαίρετα ανοικτά υποσύνολα $U\subseteq X$. Αυτό σημαίνει ότι καθώς το $U$ γίνεται πιο σύνθετο τοπολογικά, ο δακτύλιος ${\mathcal {H}}(U)$ μπορεί να εκφραστεί από τη συγκόλληση του ${\mathcal {H}}(U_{i})$. Ας σημειωθεί ότι μερικές φορές αυτό το δεμάτιο συμβολίζεται ${\mathcal {O}}(-)$ ή απλά ${\mathcal {O}}$, ή ακόμα και ${\mathcal {O}}_{X}$ όταν θέλουμε να δώσουμε έμφαση στο χώρο με τον οποίο συνδέεται η δομή του δεματίου.

Παρακολούθηση υποπολλαπλότητες με δεμάτια

Ένα άλλο κοινό χαρακτηριστικό των δεματίων είναι ότι μπορουν να κατασκευαστούν από μια μιγαδική υποπολλαπλότητα $Y\hookrightarrow X$. Υπάρχει ένα σχετικό δεμάτιο${\mathcal {O}}_{Y}$ το οποίο παίρνει ένα ανοικτό υποσύνολο $U\subseteq X$ και δίνει το δακτύλιο των ολομορφικών συναρτήσεων στο $U\cap Y$. Αυτό το είδος του φορμαλισμού βρέθηκε να είναι εξαιρετικά ισχυρό και αποτελεί κίνητρο για πολλή ομολογική άλγεβρα, όπως η συνομολογία των δεματίων, αφού μια θεωρία τομής μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τέτοιου είδους δεματίων από τη φόρμουλα τομής Σερ.

Πράξεις με δεμάτια

Μορφισμοί

Οι μορφισμοί των δεματίων είναι, κατά προσέγγιση, ανάλογοι με τις συναρτήσεις μεταξύ τους. Σε αντίθεση με μια συνάρτηση μεταξύ συνόλων, η οποία είναι απλώς μια ανάθεση εξόδων σε εισόδους, οι μορφισμοί των δεματίων απαιτούνται επίσης να είναι συμβατοί με τις τοπικές-συνολικές δομές των υποκείμενων δεματίων. Αυτή η ιδέα διατυπώνεται με ακρίβεια στον ακόλουθο ορισμό.

Έστω ${\mathcal {F}}$ and ${\mathcal {G}}$ δύο σύνολα δεματίων (αντίστοιχα αβελιανών ομάδων, δακτυλίων, κ.λπ.) στο $X$. Ένας μορφισμός $\varphi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ αποτελείται από έναν μορφισμό $\varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)$ συνόλων (αντίστοιχα αβελιανών ομάδων, δακτυλίων, κλπ. ) για κάθε ανοικτό σύνολο $U$ του $X$, με την προϋπόθεση ότι ο μορφισμός αυτός είναι συμβατός με περιορισμούς. Με άλλα λόγια, για κάθε ανοικτό υποσύνολο $V$ ενός ανοικτού συνόλου $U$, το ακόλουθο διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό.

${\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}$

Επί παραδείγματι, η λήψη της παραγώγου παράγει έναν μορφισμό δεματίων στο $\mathbb {R}$, ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.$ Πράγματι, δεδομένης μιας ($n$-φορές συνεχώς διαφορίσιμης) συνάρτησης $f:U\to \mathbb {R}$ (με $U$ στο $\mathbb {R}$ ανοιχτό), ο περιορισμός (σε ένα μικρότερο ανοιχτό υποσύνολο $V$) της παραγώγου της ισούται με την παράγωγο της $f|_{V}$.

Με αυτή την έννοια του μορφισμού, τα δεμάτια συνόλων (αντίστοιχα αβελιανών ομάδων, δακτυλίων κ.λπ.) σε έναν σταθερό τοπολογικό χώρο $X$ σχηματίζουν μια κατηγορία. Οι γενικές κατηγορικές έννοιες των μονο-, επι- και ισομορφισμών μπορούν επομένως να εφαρμοστούν σε δεμάτια.

Ένας μορφισμός $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ των δεματίων στο $X$ είναι ένας ισομορφισμός (αντίστοιχα μονομορφισμός) αν και μόνο αν υπάρχει ένα ανοικτό κάλυμμα $\{U_{\alpha }\}$ του $X$ έτσι ώστε $\varphi |_{U_{\alpha }}\colon {\mathcal {F}}(U_{\alpha })\rightarrow {\mathcal {G}}(U_{\alpha })$ να είναι ισομορφισμοί (αντίστοιχα εγχυτικοί μορφισμοί) συνόλων (αντίστοιχα αβελιανών ομάδων, δακτύλιοι, κ.λπ. ) για όλα τα $\alpha$. Αυτές οι δηλώσεις δίνουν παραδείγματα για το πώς μπορούμε να εργαστούμε με δεμάτια χρησιμοποιώντας τοπικές πληροφορίες, αλλά είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι δεν μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας μορφισμός δεματίων είναι επιμορφισμός με τον ίδιο τρόπο. Πράγματι, η δήλωση ότι οι απεικονίσεις στο επίπεδο των ανοικτών συνόλων $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)$ δεν είναι πάντοτε επιβλητικοί για επιμορφισμούς δεματίων είναι ισοδύναμη με τη μη-πραγματικότητα του συναρτητή των συνολικών τμημάτων - ή ισοδύναμα, μη-τετριμμένα της συνομολογίας των δεματίων.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Αντίστροφη συνάρτηση
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Γεωμετρική τοπολογία
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Θεώρημα Αλπερίν–Μπράουερ–Γκορενστείν
• Ευκλείδειος χώρος
• Ντάνιελ Γκόρενσταϊν
• Θεωρία ομάδων
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
• Ομάδα Quasithin
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• Tennison, B. R. (18 Δεκεμβρίου 1975). Sheaf Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-20784-3. 
• Harder, Günter (15 Σεπτεμβρίου 2011). Lectures on Algebraic Geometry I: Sheaves, Cohomology of Sheaves, and Applications to Riemann Surfaces. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-8348-8330-8. 
• Kashiwara, Masaki· Schapira, Pierre (14 Μαρτίου 2013). Sheaves on Manifolds: With a Short History. «Les débuts de la théorie des faisceaux». By Christian Houzel. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-02661-8. 
• Rosiak, Daniel (25 Οκτωβρίου 2022). Sheaf Theory through Examples. MIT Press. ISBN 978-0-262-36237-5. 
• Mallios, Anastasios (1998). Geometry of Vector Sheaves: An Axiomatic Approach to Differential Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-5004-0. 
• MacLane, Saunders· Moerdijk, Ieke (27 Οκτωβρίου 1994). Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97710-2. 
• Bredon, Glen E. (6 Δεκεμβρίου 2012). Sheaf Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0647-7. 
• Hazewinkel, Michiel (1988). Encyclopaedia of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-003-6. 
• Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4. 

Παραπομπές

• Bredon, Glen E. (1997), Sheaf theory, Graduate Texts in Mathematics, 170 (2nd έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94905-5  (oriented towards conventional topological applications)
• de Cataldo, Andrea Mark; Migliorini, Luca (2010). «What is a perverse sheaf?». Notices of the American Mathematical Society 57 (5): 632–4. Bibcode: 2010arXiv1004.2983D. . http://www.ams.org/notices/201005/rtx100500632p.pdf. 
• Godement, Roger (2006), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paris: Hermann, ISBN 2705612521 
• Grothendieck, Alexander (1957), «Sur quelques points d'algèbre homologique», The Tohoku Mathematical Journal, Second Series 9 (2): 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839, ISSN 0040-8735 
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Topological methods in algebraic geometry, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0  (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 3-540-16389-1 
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (1994), Sheaves on manifolds, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 292, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51861-7  (advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces)
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994), Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2  (category theory and toposes emphasised)
• Martin, William T.; Chern, Shiing-Shen; Zariski, Oscar (1956), «Scientific report on the Second Summer Institute, several complex variables», Bulletin of the American Mathematical Society 62 (2): 79–141, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10013-X, ISSN 0002-9904 
• Ramanan, S. (2005), Global calculus, Graduate Studies in Mathematics, 65, American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/065, ISBN 0-8218-3702-8 
• Seebach, J. Arthur; Seebach, Linda A.; Steen, Lynn A. (1970), «What is a Sheaf», American Mathematical Monthly 77 (7): 681–703, doi:10.1080/00029890.1970.11992563 
• Serre, Jean-Pierre (1955), «Faisceaux algébriques cohérents», Annals of Mathematics, Second Series 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, ISSN 0003-486X, http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf 
• Swan, Richard G. (1964), The Theory of Sheaves, Chicago lectures in mathematics (3 έκδοση), University of Chicago Press, ISBN 9780226783291  (concise lecture notes)
• Tennison, Barry R. (1975), Sheaf theory, London Mathematical Society Lecture Note Series, 20, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20784-3, https://books.google.com/books?id=JOglpKIw6kIC  (pedagogic treatment)
• Rosiak, Daniel (2022). Sheaf theory through examples. Cambridge, Massachusetts. doi:10.7551/mitpress/12581.001.0001. ISBN 978-0-262-37042-4.  (introductory book with open access)

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 

[[Κατηγορία:Θεωρήματα της Άλγεβρας] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα] [[Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]

[[Κατηγορία:Κινέζοι επιστήμονες] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Ασιάτες επιστήμονες] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 20ού αιώνα]

[[Κατηγορία:Πανεπιστήμια στην Κίνα] [[Κατηγορία:Ακαδημίες επιστημών]

[[Κατηγορία:Απόφοιτοι του Πανεπιστημίου του Τόκιο] [[Κατηγορία:Ιάπωνες μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 20ού αιώνα] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 21ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Ιππότες της Λεγεώνας της Τιμής]

[[Κατηγορία:Ιάπωνες βιολόγοι] [[Κατηγορία:Ιάπωνες επιστήμονες] [[ΚΚατηγορία:Καθηγητές ανά ανώτατο εκπαιδευτικό ίδρυμα στην Ιαπωνία] [[Κατηγορία:Ιάπωνες εφευρέτες]

[[Κατηγορία:Πανεπιστήμια στην Ιαπωνία]

[[Κατηγορία:Διαφορικές εξισώσεις] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Τοπολογία]

[[Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρίαν] [[Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα]

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Θεωρία αναπαραστάσεων] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών]

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση]

[[Κατηγορία:Μαθηματικά προβλήματα]

[[Κατηγορία:Διάσταση]

[[Κατηγορία:Επιστήμη υπολογιστών]

---

[[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

---

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

---

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Μιγαδική αναλυτική ποικιλία } [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]

---

[[Κατηγορία:Ιστότοπος-επέκταση] [[Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]

[[Κατηγορία: Κατηγορία:Γάλλοι εκδότες] [[Κατηγορία:Εκδοτικοί οίκοι]

[[Κατηγορία:Μουσεία στο Παρίσι [[Κατηγορία:Νομισματικά μουσεία

[[Κατηγορία:Ιλιάδα [[Κατηγορία:Ήφαιστος

Δείτε επίσης

• Κατάλογος μεγαλύτερων βιβλιοθηκών
• Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών
• Παγκόσμια Ψηφιακή Βιβλιοθήκη
• Europeana
• Ευρωπαϊκή Βιβλιοθήκη

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Επίσημη ιστοσελίδα

Παραπομπές

{Authority control}}

Κατηγορία:Εθνικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Βιβλιοθήκες στη Σαουδική Αραβία]]

[Κατηγορία:Ιστορικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Τορίνο]]

Κατηγορία:Βιβλιοθήκες ανά χώρα]]

Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]]

Κατηγορία:Ερευνητικά κέντρα ανά χώρα]] Κατηγορία:Πανεπιστήμια ανά χώρα]]

{commonscat}}

---

Άλλο θἐμα

List of national and state libraries
de:Liste der Nationalbibliotheken
es:Anexo:Bibliotecas nacionales

Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών

---