Ευθεία Σίμσον

Η ευθεία Σίμσον του σημείου ${\rm {P}}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.

Στην γεωμετρία, η ευθεία Σίμσον ή αλλιώς ευθεία Σίμσον-Γουάλας (αναφέρεται και ως ευθεία Simson ή ευθεία Simson-Wallace) ενός σημείου ${\rm {P}}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι η ευθεία που διέρχεται απο τις προβολές ${\rm {P_{A},P_{B},P_{\Gamma }}}$ του ${\rm {P}}$ στις πλευρές του τριγώνου.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή αν οι προβολές ενός σημείου ${\rm {P}}$ στις πλευρές ενός τριγώνου είναι συνευθειακά σημεία, τότε το ${\rm {P}}$ είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Η ευθεία παίρνει το όνομά της από τους μαθηματικούς Ρόμπερτ Σίμσον και Γουίλιαμ Γουάλας.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Έστω ${\rm {P}}$ ένα σημείο εξωτερικό του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {P_{A}}}$, ${\rm {P_{B}}}$ και ${\rm {P_{\Gamma }}}$ οι προβολές του στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Στόχος είναι να αποδείξουμε ότι τα σημεία ${\rm {P_{A}}}$, ${\rm {P_{B}}}$ και ${\rm {P_{\Gamma }}}$ (ή ισοδύναμα ότι η $x={\widehat {\rm {AP_{B}P_{\Gamma }}}}$ είναι ίση με την $y={\widehat {\rm {P_{A}P_{B}\Gamma }}}$) είναι συνευθειακά ανν το σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {AB\Gamma }}$.

Το τετράπλευρο ${\rm {PP_{\rm {B}}P_{\rm {\Gamma }}A}}$ είναι εγγράψιμο, καθώς ${\hat {\rm {P}}}_{\rm {B}}={\hat {\rm {P}}}_{\rm {\Gamma }}=90^{\circ }$. Επομένως ισχύει ότι ${\widehat {{\rm {P}}_{\rm {\Gamma }}{\rm {PA}}}}={\widehat {{\rm {P}}_{\rm {\Gamma }}{\rm {P}}_{\rm {B}}{\rm {A}}}}=\varphi$, καθώς οι γωνίες βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Αντίστοιχα, το τετράπλευρο ${\rm {PP_{B}P_{A}\Gamma }}$ είναι εγγράψιμο και ${\widehat {\rm {\Gamma PP_{A}}}}={\widehat {\rm {\Gamma P_{B}P_{A}}}}=\omega$.

Επίσης, το τετράπλευρο ${\rm {PP_{\Gamma }BP_{A}}}$ είναι εγγράψιμο και άρα

${\widehat {\rm {APP_{A}}}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {A}}}+{\hat {\Gamma }}={\widehat {\rm {AP\Gamma }}}+\varphi$.

(1)

Τέλος, το ${\rm {P}}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {AB\Gamma }}$ ανν το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι εγγράψιμο, αν και μόνο αν

${\widehat {\rm {APP_{\Gamma }}}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {A}}}+{\hat {\Gamma }}={\widehat {\rm {AP\Gamma }}}+\omega$,

δηλαδή ανν $\varphi =\omega$ (χρησιμοποιώντας την (1)).

Ιδιότητες

Η ευθεία Στάινερ (κόκκινο) είναι παράλληλη στην ευθεία Σίμσον-Γουάλας (μπλε) του ίδιου σημείου.

• Η ευθεία Στάινερ είναι παράλληλη της ευθεία Σίμσον του σημείου (η οποία διέρχεται από τις προβολές του σημείου στις πλευρές του τριγώνου).

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένος κύκλος
• Συνευθειακά σημεία (γεωμετρία)
• Ευθεία Στάινερ

Περαιτέρω ανάγνωση

Διαδραστικές εφαρμογές

• Διαδραστική εφαρμογή για την ευθεία Σίμσον στο Φωτόδεντρο
• Ευθεία Σίμσον στο Cut-the-Knot
• Ευθεία Σίμσον στο Geogebra
• Ευθεία τού Σίμσον στο Interactive Geometry

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευθείες Σίμσον ενός τριγώνου, Παράλληλος της ευθείας Σίμσον, Γενικευμένη ευθεία Σίμσον, Γεωμετρικός τόπος ευθειών Σίμσον, Σχετικά με την ευθεία Σίμσον στην Πινακοθήκη Γεωμετρικών Θεμάτων
• Ευθεία Σίμσον στο Art of Problem Solving

Ελληνικά άρθρα

• Ν. Α. Κισκύρας; Χ. Α. Κισκύρας; Δ. Τσιμπουράκης (1987). «Τετράπλευρο και ο κύκλος». Ευκλείδης Β΄ (1): 33-37. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2816. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Quadling, Douglas (2012). «A curious misattribution: the early history of 'Simson's line'». The Mathematical Gazette 96 (537): 420-427. https://www.jstor.org/stable/24496864. 
• Clawson, J. W. (1919). «A Theorem in the Geometry of the Triangle». The American Mathematical Monthly 26 (2): 59. doi:10.2307/2973140. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1919-02_26_2/page/59. 
• Barnett, J. K. R. (2001). «Simson lines and deltoids». The Mathematical Gazette 85 (504): 446–457. doi:10.2307/3621750. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2001-11_85_504/page/446. 
• Smith, Geoff (2015). «99.20 A projective Simson line». The Mathematical Gazette 99 (545): 339-341. https://www.jstor.org/stable/24496966.