Θεώρημα Bottema

Το θεώρημα Bottema λέει ότι το σημείο

{\rm {M}}

είναι ανεξάρτητο από το σημείο

{\rm {A}}

για τα εξωτερικά (αριστερά) και τα εσωτερικά (δεξιά) τετράγωνα.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Bottema λέει ότι σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με εξωτερικά (ή εσωτερικά) τετράγωνα ${\rm {AB\Delta E}}$ και ${\rm {A\Gamma ZH}}$ , το μέσο του ${\rm {\Delta E}}$ είναι ανεξάρτητο του ${\rm {A}}$ .

Παίρνει το όνομά του από τον Ολλανδό μαθηματικό Oene Bottema.^[1]

Απόδειξη

Θεωρούμε τις προβολές ${\rm {A',\Delta ',Z',M'}}$ στον φορέα του ${\rm {B\Gamma }}$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {B\Delta \Delta '}}$ και ${\rm {BAA'}}$ είναι ίσα καθώς έχουν ίση την υποτείνουσα ( ${\rm {B\Delta =AB}}$ ) και δύο οξείες γωνίες συμπληρωματικές ( ${\widehat {\rm {\Delta B\Delta }}}=180^{\circ }-90^{\circ }-{\widehat {\rm {ABA'}}}=90^{\circ }-{\widehat {\rm {ABA'}}}$ . Άρα

{\rm {\Delta \Delta '=BA'}}

.

Αντίστοιχα, τα ορθογώνια ${\rm {\Gamma AA'}}$ και ${\rm {\Gamma ZZ'}}$ είναι ίσα. Επομένως,

{\rm {ZZ'=A'\Gamma }}

.

Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, προκύπτει ότι ${\rm {M'}}$ είναι το μέσο του ${\rm {B\Gamma }}$ .

Το ${\rm {MM'}}$ ενώνει τα μέσα του τραπεζίου ${\rm {\Delta \Delta 'Z'Z}}$ και επομένως

{\rm {MM'={\frac {1}{2}}\cdot \left(\Delta \Delta '+ZZ'\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(BA'+A'\Gamma \right)={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {B\Gamma }}}}

.

Καταλήγουμε ότι οι συντεταγμένες του ${\rm {M}}$ είναι $({\rm {B\Gamma /2,B\Gamma /2)}}$ με κέντρο αναφοράς το ${\rm {B}}$ και επομένως η θέση του είναι ανεξάρτητη του ${\rm {A}}$ .

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Koetsier, T. (2007). «Oene Bottema (1901–1992)». Στο: Ceccarelli, M., επιμ. Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science. History of Mechanism and Machine Science. 1. Dordrecht: Springer. σελίδες 61–68. doi:10.1007/978-1-4020-6366-4_3. ISBN 978-1-4020-6365-7.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[Bottema-1] Koetsier, T. (2007). «Oene Bottema (1901–1992)». Στο: Ceccarelli, M., επιμ. Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science. History of Mechanism and Machine Science. 1. Dordrecht: Springer. σελίδες 61–68. doi:10.1007/978-1-4020-6366-4_3. ISBN 978-1-4020-6365-7.

[1]